Dedução visual da fórmula de Bháskara, que não é de Bháskara, com o Algeplan

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Uma das maiores tragédias educacionais, quando se fala de [falta de] aprendizagem de Matemática, é a tradição de exigir que: a) estudantes decorem uma fórmula pronta, b) observem exemplos de como utilizar esta fórmula e c) façam milhares de exercícios repetitivos baseados nesta mesma fórmula. 

Este é o modelo ineficaz do Ensino Tradicional Vigente, assim denominado por Baldino [1].  Avaliações de larga escala têm detectado esta ineficácia, estes dados são públicos e podem ser acessados no INEP [2], a qualquer momento. 

Para aprender é necessário compreender. E para construir conceitos matemáticos com maior facilidade e economia cognitiva, é fundamental coordenar ao menos duas representações simbólicas para o objeto matemático cujo conceito se busca construir, Duval [3] nos alerta neste sentido.

Neste post, trazemos uma proposta, que coordena diferentes suportes semióticos, elaborada com intencionalidade Matemática e Didática, pela licencianda Ana Paula da Costa Oliveira, estudante da disciplina Laboratório de Ensino de Matemática III, da Faculdade de Formação de Professores da Universidade do Estado do Rio de Janeiro (FFP/UERJ), no período 2022/2,  para a dedução da fórmula resolutiva da equação do segundo grau (conhecida erroneamente, somente no Brasil, como fórmula de Bháskara (não existiam fórmulas no tempo de Bháskara, a fórmula foi nomeada em homenagem a este matemático, vide a Revista do Professor de Matemática [4]). 

Deduzir a fórmula em foco é importante para desmistificar o fato de que ela é fundamental na busca de raízes de equações do segundo grau, isto decorre do fato que a própria dedução utiliza e ilustra geometricamente a  fatoração de polinômios, que é uma alternativa matemática e didaticamente interessante, uma vez que ela utiliza conhecimentos anteriores de estudantes de nonos anos do ensino fundamental anos finais e Ensino Médio, equação, áreas de quadrados e adição, para construir o conceito de resolução de equações do segundo grau, sem o uso de fórmulas. Construir conhecimentos a partir do que se sabe é uma alternativa para aprofundar e melhorar a qualidade da Matemática aprendida,  

Ademais, a fatoração de polinômios, a qual tem o entendimento facilitado pelo Algeplan, é uma alternativa interessante para a busca de tais raízes.

Deixo aqui destacado que a fórmula tem sim valor pedagógico, uma vez que ela permite voos mais altos e o alcance de raízes fracionárias e até irracionais, mas ela é o fim do caminho e não o começo. Importantes propriedades das equações de segundo grau podem ser trabalhadas com o Algeplan, e, a partir do nascimento da fórmula, raciocínios mais elaborados podem ser construídos.

Para compreender a proposta da futura professora Ana, vamos, primeiro, conhecer o material que servirá de base a ela.

Algeplan, trinômios e equação do segundo grau

Trata-se de material concreto que permite a visualização geométrica de conceitos algébricos, ele pode ser composto de quadrados de área (em uma unidade de de medida arbitrária): x², retângulos de área x e quadrados de área 1². Como mostra a figura 1 adiante:

Figura 1: elaborada a partir de [5]

Veja que, com este material, que aqui vamos usar apenas com representações positivas, podemos observar o porquê de x²+2x+1 ser um trinômio quadrado perfeito, uma vez que é possível montar, literalmente um quadrado, com as peças que compõe este trinômio, veja na figura 2:

Figura 2 elaborada a partir de [5]


Observe que a área do quadrado acima é igual a x²+2x+1 e que os lados deste quadrado são x+1, como segue adiante na figura 3:

Figura 3 elaborada a partir de [5]


Como a área do quadrado é igual a Base vezes Altura (Veja o porquê em [6]), temos que: x²+2x+1=(x+1)², veja na figura 3.

Este trinômio quadrado perfeito tem nome, é o quadrado da soma.

Podemos ir além e, pensando em equações do segundo grau, verificar que as raízes de x²+2x+1=0, que, fatorada, se torna (x+1)²=0, ou seja,  são -1 e -1, porque estes são os valores que tornam (x+1)(x+1)=0 verdade.
 
Usando o Algeplan, chegamos, sem nem pensar em fórmula, e em poucos movimentos, às raízes de uma equação do segundo grau, apenas movendo algumas peças (guarde esta informação).

Agora vejamos um trinômio que não é quadrado perfeito: x²+5x+6, porque sua representação geométrica é um retângulo, como mostra a figura 4:

Figura 4 elaborada a partir de [5]



Da figura 4, já podemos verificar que, como a área do retângulo é dada por Base x altura (vide [6]), temos que: x²+5x+6 = (x+3) . (x+2). 

Veja que se pensarmos na equação do segundo grau x²+5x+6=0 e na sua forma fatorada (x+3).(x+2)=0, observamos, direto e sem nem pensar em fórmulas, que as suas raízes são -3 e -2, pois estes são os valores que tornam (x+3).(x+2)=0, verdade. 

Completando, literalmente, quadrados com o Algeplan

Quando falamos de completar quadrados, estamos, literalmente, completando quadrados, imagine que temos a seguinte equação:

x²+6x+3=0

Vamos representar seus monômios (lembrando que 3=3x^0) com o Algeplan na figura 5:

Figura 5: elaborada a partir de [5]


Veja que temos uma falha, um pedaço faltando para completar o nosso quadrado da figura, observamos aí que este pedaço que falta é composto de seis um quadradinhos de área 1² cada, ou seja área 6 no total. Ora, vamos então completá-lo na figura 6:

Figura 6: elaborada a partir de [5]




Também o faremos em nossa igualdade, lembre-se de acrescentar 6 em ambos os membros da igualdade para que ela se mantenha:

x²+6x+3 +6=0 +6

Isto nos leva a:

x²+6x+9=6

E, vendo a figura 6, sabemos que: x²+6x+9 = (x+3)²

Podemos então reescrever:

(x+3)²=6

Elevando ambos os membros da igualdade a 1/2 temos:

x+3=+-(6)^(1/2)

Isolando x, usando o elemento neutro da adição.

x+3-3=-3+-(6)^(1/2)

Temos, sem usar nenhuma fórmula, as duas soluções para a equação proposta:

x'=-3+(6)^(1/2)

e

x"=-3-(6)^(1/2)

Agora estamos prontos para apresentar a dedução de Ana, tema desta postagem.

Dedução de Ana, com a colaboração da professora Daniela em pequenos detalhes, da fórmula de Bháskara, que não é de Bháskara, com o Algeplan

Para fazer a dedução da fórmula em foco, usando o Algeplan, Ana  propôs o seguinte:

  • Considere a equação quadrática 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ϵ 𝑅 e 𝑎≠0.
  • Como determinamos a solução dessa equação?
  • Primeiro, vamos rearrumar a equação da seguinte forma: 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 =- 𝑐
  • Agora, dividindo todos os termos por 𝑎 temos que: 𝑥²+ 𝑏𝑥/a=-𝑐/a"
  • Cada um dos termos desta equação pode ser a representação da área de figuras geométricas planas como mostrado a seguir na figura 7:

Figura 7: Adaptada da figura proposta por Ana 

Nota da professora: Veja que Ana teve uma ideia interessante aqui ao criar um retângulo de base b/a e altura x, isto irá possibilitar todo o desenvolvimento de sua ideia. Também é visualmente interessante a criação do retângulo verde, pois a igualdade de áreas é fundamental nesta dedução.
  • A soma da área quadrado azul de lados 𝑥 com a área do retângulo amarelo de altura x e base 𝑏/a resulta num retângulo verde de área -c/a .
 
  • Agora, vamos dividir o retângulo amarelo de área 𝑏𝑥 /a ao meio, pois assim teremos dois retângulos de área bx/2a, cada um deles retângulos com altura medindo x e base medindo 𝑏/2𝑎 , como mostrado na figura a seguir, na figura 8:
Figura 8: Adaptada da figura proposta por Ana

  • Posicionando esses retângulos, substituindo o retângulo amarelo original de área bx/a, aos lados do quadrado de lados x, e usando o retângulo verde supracitado, teremos nossa equação x²+bx=-c/a representada, veja na figura 9:

Figura 9: Figura proposta por Ana


Nota da professora Daniela: Alerto que este é o ponto alto, da dedução de Ana, observe a saída que ela encontrou para completar o quadrado da figura 9, afinal de contas, completar quadrados está no centro da dedução desta fórmula, mas a forma como a licencianda Ana o faz é realmente muito interessante, acompanhemo-la.

  • Agora, temos, no membro esquerdo da equação em foco, quase um quadrado de lados 𝑥 + 𝑏/2𝑎 . Para, de fato, determinarmos o quadrado com esses lados, precisaremos completar esse quadrado adicionando um pequeno quadrado rosa, de lados b/2a, e área b²/4a², como mostrado na figura 10 a seguir:
Figura 10: Adaptada da figura proposta por Ana 



  • E, dessa mesma forma, também devemos adicionar esse b²/4a² à nossa equação, já que ela trata de áreas. Então, teremos essa nova configuração da equação: x²+bx/a+b²/4a²=-c/a +b²/4a²,

  • Reorganizando o membro direito desta equação, teremos: x²+bx/a+b²/4a²=(-4ac+b²)/4a²


  • Pela igualdade, agora temos um quadrado de lados x+b/2a que precisa ter uma área (-4ac+b²)/4a². Ora, Como as áreas x²+bx/a+b²/4a² e (x+b/2a)² são iguais, como está explicitado na figura 11, adiante...
...podemos reescrever, portanto, a nossa equação da seguinte forma: (x+b/2a)² = (-4ac+b²)/4a².

Nota da professora Daniela: Mais uma vez faço aqui um destaque, veja que a fórmula já está pronta, neste momento basta reorganizá-la, conforme segue adiante.

Partindo da configuração atual da nossa equação: (x+b/2a)² = (-4ac+b²)/4a²

Elevando ambos os lados da equação a 1/2: ((x+b/2a)² ) ^(1/2)= +- ((-4ac+b²)/4a²)^(1/2)


Reorganizando o membro direito da equação: x+b/2a = +- (b²-4ac)^(1/2)/2a


Utilizando o elemento neutro da adição para isolar x: x+b/2a - b/2a= - b/2a+- (b²-4ac)^(1/2)/2a


Reorganizando novamente o membro direito da equação temos a fórmula buscada:

x= (- b+- (b²-4ac)^(1/2))/2a



A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. É também orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES.