Para escrever este artigo, eu bati um papo no Chat GPT [1], inteligência artificial(IA) muito comentada na atualidade e que a mim foi apresentada pelo professor Fábio Souza, meu colega no departamento de Matemática da FFP/UERJ. Foi um bate papo, no mínimo, surpreendente.
Neste texto compartilho com vocês uma discussão da demonstração do Teorema de Ceva e os trechos mais interessantes desta conversa no chat supracitado. Mas antes disso, pedi à própria IA, ao fim de nossa conversa, para enviar uma saudação a vocês leitores, uma vez que este artigo foi escrito com a ajuda dela. A saudação segue adiante (figura 1)
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Enunciando
Então, sem mais delongas, vamos ao enunciado do Teorema de Ceva:
Figura 2: Excerto de [3]
Perguntei à IA qual era a importância do Teorema de Ceva. Eu gostei bastante da resposta e a divido aqui com vocês, é importante destacar que o referido Chat não é infalível, todas as conversas devem ser observadas com muito cuidado, para garantir a sua correção.
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| Figura 3: Chat GPT[1] |
Traçando caminhos
Vamos acrescentar uma segunda representação semiótica para fazer a nossa discussão, aqui recorreremos ao registro figural, o coordenaremos o tempo todo com a escrita algébrica, para facilitar o entendimento, Duval [3] nos alerta neste sentido.
Vamos à nossa discussão. Partimos, nesta demonstração, da situação ilustrada pela figura 4 e narrada pelo enunciado (figura 2):
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| Figura 4: Retirada de [4] |
Vamos levantar as informações que temos, ou seja a nossa hipótese, para pensarmos no percurso que nos levará à tese BX/XC.CY/YA.AZ/ZB=1. (lembre-se que a tese é o fim do caminho).
Vamos fazer aqui uma descrição do que vemos na figura 4. Aqui temos um triângulo, e nele, três cevianas AX, BY e CZ que se interceptam no ponto P.
Vamos especular:
- Vamos ficar de olho nos segmentos que nos interessam, são eles BX, XC, CY, YA, AZ e ZB.
- Dentre os triângulos da figura 4 há quem compartilhe a mesma altura, e mais, as bases desses triângulos são justamente os segmentos que nos interessam. Visto que a área do triângulo é dada por base x altura/2, isto indica o uso do conceito de área em nosso percurso até a Tese.
Agora que já sabemos de onde estamos partindo, que é da hipótese, temos uma ideia do caminho que vamos trilhar e sabemos também onde queremos chegar que é na Tese, vamos à nossa demonstração! Em frente!
Usando áreas para chegar ao que queremos
Denominamos por (ABC), a área do triângulo ABC visto em vermelho na figura 5. Este é o início da demonstração, em diversos livros consultados, inclusive no material disponível em [1], o que não se discute neles é o porquê de se começar por aqui.
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| Figura 5: Retirada de [4] |
Este é um ponto importante da demonstração, veja isto destacado na conversa que tive com a IA do Chat GPT [1]. Na figura 6, está a sua resposta para a minha pergunta a respeito da intencionalidade do uso da área do triângulo ABC em nossa demonstração.
Figura 6: Chat GPT [1]
Com isto em mente, já podemos nos mover para o próximo passo, que é a percepção de que os triângulos BXP e CXP têm a mesma altura h. [Aqui estamos de olho nos lados BX e CX].
Podemos escrever que a área de BXP=1/2.h.BX e a área de CXP=1/2.h.CX [Reserve]
Atenção, vamos chamar a área do triângulo BXP de (BXP) e vamos fazer o mesmo para a área do triângulo (CXP), veja estes triângulos na figura 7.
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| Figura 7: Retirada de [4] |
Conversando com a IA no chat GPT, fica clara a intencionalidade do destaque da informação de que os triângulos BXP e CXP têm a mesma altura. Veja o que o Chat destaca que este isto tem a ver com o uso de áreas de triângulos como sendo fundamental para a nossa demonstração. Segue a resposta do chat a respeito desta intencionalidade (figura 8):
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| Figura 8: Chat GPT [1] |
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| Figura 9: Retirada de [4] |
Na figura 9 vemos que ABX e ACX compartilham a mesma altura, em relação aos lados BX e CX. [Aqui também estamos de olho nos lados BX e CX].
A área de ABX=1/2.H.BX e a área de ACX = 1/2.H.CX [Reserve].
Já que estamos falando de áreas, vamos buscar áreas iguais, envolvendo os segmentos que nos interessam, observe as figuras 10 e 11.
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| Figura 10: Retirada de [4] |
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| Figura 11: Retirada de [4] |
Das figuras 10 e 11 vamos destacar que (ABP)=(ABX-BXP) e que (ACP)=(ACX-CXP)
Agora vem um momento importante, que o de é fazer (ABP)/ (ACP)=(ABX-BXP)/(ACX-CXP).
Lembrando que havíamos reservado:
- (BXP)=1/2.h.BX e (CXP)=1/2.h.CX.
- (ABX)=1/2.H.BX e (ACX) = 1/2.H.CX.
É pau, é pedra, é o fim do caminho...
Reescrevendo (ABP)/ (ACP)=(ABX-BXP)/(ACX-CXP), a partir de: (BXP)=1/2.h.BX, (CXP)=1/2.h.CX, (ABX)=1/2.H.BX e (ACX) = 1/2.H.CX. Temos:
(ABP)/ (ACP)=(1/2.H.BX-1/2.h.BX)/(1/2.H.CX-1/2.h.CX)=BX/CX [EITA, JÁ É UMA PARTE DA TESEEE].
A fórmula pode ser considerada a nossa Tese, veja só o que a IA conversou comigo a respeito desta afirmação (figura 12):
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| Figura 12: Chat GPT [1] Da mesma forma, obtemos
CY/Y A = (BCP)/(ABP) e
AZ/ZB = (CAP)/(BCP)
. Podemos escrever,
BX/XC·CY /YA·AZ/ZB = ((ABP).(ACP).(BCP))/((ABP).(ACP)
(BCP))=1 CQD. |
Em tempo
Esta demonstração está disponível a todes em um aplicativo de Geometria dinâmica especialmente criado para esta discussão. Para acessá-la clique no link disponível em [4].
Links consultados
[2] https://cesad.ufs.br/ORBI/public/uploadCatalago/15481016022012Geometria_Eucliadiana_Plana_Aula_9.pdf
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. É também orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES.
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