Demonstração de Potência de ponto, caso 3 (caso particular do teorema das secantes), com o GeoGebra!

 Preparei um applet no GeoGebra, disponível em [1] para discutirmos o terceiro caso de potência de ponto. 

Iremos fazer esta discussão usando dois suportes semióticos, escrita algébrica e representação figural, pois, segundo Duval [2], isto é fundamental para que o(a) aprendente evite confundir objeto com representação, e, portanto, esta ação pode facilitar a aquisição do conceito estudado.

Além disso, em toda a discussão estarei apresentando as intencionalidades da nossa demonstração, uma vez que ela não é fruto de uma iluminação súbita, mas sim, feita a partir das informações que temos em mãos. 

São justamente estas intencionalidades que trazem a discussão da construção do conceito estudado. É na construção dialogada da demonstração que destacamos as propriedades do objeto estudado.

Vamos, sem mais delongas, à nossa discussão de hoje!

Intencionalidades

Partindo do terceiro caso de potência de ponto, conforme ilustrado na figura 1...

Figura 1: Elaborada a partir de [1]

Sabemos, pelo decoreba ser este terceiro caso PC²=PA.PB. Mas, como estamos em uma demonstração dialogada, vou chamar esta fórmula de nosso ponto de chegada. Em uma demonstração isto se chama Tese.

Agora, vamos levantar as informações que temos para criarmos o caminho que nos levará até o nosso ponto de chegada. Em uma demonstração isto se chama hipótese. Sempre partimos da hipótese para chegarmos à tese, portanto, pensando em nosso caminho...

Temos uma circunferência, e, vemos que:

1. Se construirmos a corda CA teremos o triângulo ABC, se construirmos a corda CB, teremos o triângulo PBC. Temos também um terceiro triângulo a considerar, CPA.
2. Nos interessam os lados PC, PA e PB, vamos ficar de olho nos triângulos PBC e CPA.
3. Estamos trabalhando com diversos ângulos inscritos em uma circunferência.
4. Se unirmos 1 e 2 e encontrarmos dois triângulos semelhantes, chegaremos em nossa tese.

Agora, com o caminho esboçado em 1 a 4, vamos à nossa demonstração! Avante!

Em busca de triângulos semelhantes 

Como já pensado em nosso esboço, vamos traçar as cordas AC e BC, como mostra a figura 2.

Figura 2: Elaborada a partir de [1]

Observe agora o triângulo BCP na figura 3.

Figura 3: Elaborada a partir de [1]

Observe também o triângulo CPA na figura 4

Figura 4: Elaborada a partir de [1]

Estamos buscando dois triângulos semelhantes, logo de início já nos movemos para os triângulos BCP e CPA porque:

1.  eles têm um ângulo comum em P, 
2. além disso, eles têm um segundo ângulo congruente, veja que o ângulo CAP é inscrito do arco CB e o ângulo BCP também é inscrito do mesmo arco, 
3. logo estes ângulos são congruentes, e, pelo caso aa, os triângulos BCP e CPA são semelhantes.

Nada é por um acaso, vamos agora desenvolver 1, 2 e 3.

Os triângulos BCP e CPA têm o ângulo alfa em comum, como mostra a figura 5.

Figura 5: Elaborada a partir de [1]

Veja também que os ângulos gama e beta são congruentes, porque são ângulos inscritos do arco BC (figura 6).

Figura 6: Elaborada a partir de [1]

Separando os triângulos considerados, em uma imagem meramente ilustrativa das posições de seus ângulos e lados podemos ver mais claramente (figura 7):

Figura :7 Elaborada a partir de [3]

Pelo caso aa, portanto, os triângulos BCP e CPA são semelhantes. E, detalhe, PC é lado comum aos dois triângulos, isto é interessante porque queremos chegar em PC²=PA.PB [aqui temos um ponto importante da nossa demonstração].

Agora é só correr para o abraço

Como lados homólogos de triângulos semelhantes são proporcionais, e, nos interessam os lados PC, PA e PB. Fazemos PC/PA=PB/PC(figuras 7 e 8). 

Observe que: 

• PC no triângulo PBC está entre os ângulos em verde e azul.
• PA no triângulo PCA está entre os ângulos em verde e azul. 
• PB no triângulo PBC está entre os ângulos em vermelho e verde.
• PC no triângulo PCA está entre os ângulos em vermelho e verde. 

Figura 8: Elaborada a partir de [1]

Figura 9: Elaborada a partir de [1]

Vamos olhar os dois triângulos em foco, separadamente, agora com três ângulos internos marcados (figura 10).

Figura 10: Elaborada a partir de [3]

Reorganizando PC/PB=PA/PC, chegamos à nossa tese, literalmente o fim do caminho, e, temos:

PC²=PA.PB

Como queríamos demonstrar.

Links consultados

[1] https://www.geogebra.org/m/rda4kxhh

[2] https://www.periodicos.ufpa.br/index.php/revistaamazonia/article/view/1708

[3] https://www.geogebra.org

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. É também orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES.