Demonstração, com o suporte da Geometria dinâmica, da Lei dos Senos

Quem compreende não esquece, entender, afinal de contas, o por que  a/sena =b/senb=c/senc=2r, é desta forma e não de outra?

Deduzindo a lei dos Senos vamos descobrir juntos o porquê e vamos também entender propriedades fundamentais para este conceito. O faremos, na perspectiva de Duval [1], ou seja, vamos utilizar dois suportes semióticos, são eles linguagem algébrica e representação figural, pois a coordenação de representações de um objeto matemático pode facilitar a aquisição do seu conceito.

Ademais, construir conhecimento a partir do que se sabe se constitui, como alerta Ausubel [2] em aprendizagem significativa. Para esta demonstração iremos utilizar os conceitos de seno e de ângulo inscrito.

A demonstração discutida neste post está disponível em geometria dinâmica em [3], vamos à sua discussão?

Em busca de um seno usando ângulo inscrito

Iniciamos a nossa demonstração, traçando um triângulo ABC qualquer, a partir de três pontos aleatórios sobre uma circunferência qualquer, como na figura 1, o fazemos porque propriedades da circunferência nos interessam. Em uma demonstração, tudo é pensado com antecedência (figura 1).

Figura 1: Elaborada a partir de [3]

Traçamos um diâmetro AB, porque estamos em busca de um triângulo retângulo, e o ângulo inscrito de um arco de 180º mede 90º. Veja que, na demonstração, tudo tem intencionalidade, é um jogo jogado (figura 2).

Figura 2: Elaborada a partir de [3]

Usando AD como base de um novo triângulo e o ponto C, vamos criar o triângulo retângulo ADC (figura 3).

Figura 3: Elaborada a partir de [3]

Agora estamos prontos para o pulo do gato, ou como diz o professor Mathias [4] "The jump of the cat", temos aqui dois ângulos congruentes, um em um triângulo retângulo e para o qual facilmente podemos calcular seu seno, com nossos conhecimentos anteriores, e um em um triângulo não retângulo, para o qual não temos esta facilidade.

O conceito de ângulo inscrito ataca novamente

Veja na figura adiante que os D e B são ângulos inscritos do arco AC. [o ponto alto desta demonstração está aqui] (figura 4).

Figura 4: Elaborada a partir de [3]

Veja que o seno de D=b/2r, como está explicitado na figura 5 adiante:

Figura 5: Elaborada a partir de [3]

Como D e B são congruentes, vide figura 4, temos sen B= b/2r e, reorganizando esta igualdade, chegando ao fim de nossa demonstração, temos:

2r=b/sen b

CQD.

As demonstrações para os ângulos A e C são análogas.

Links consultados

[1] https://www.periodicos.ufpa.br/index.php/revistaamazonia/article/view/1708
[2] https://novaescola.org.br/conteudo/262/david-ausubel-e-a-aprendizagem-significativa

[3] https://www.geogebra.org/classic/nzksk4qe

[4] https://www.youtube.com/channel/UCpfbMSODDM5zWABUN4sgZew

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. É também orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES.