Demonstração do primeiro caso de Potência de um ponto (teorema das cordas), com o apoio do GeoGebra

Se temos, em uma circunferência, duas cordas BC e DE, se cruzando em um ponto, como mostra a figura 1...

Figura 1: Elaborada a partir de [1]

 

,,, sabemos, pelo decoreba, que BP . PC = DP . PE. Mas porquê isto é verdade?

A resposta é....

....

...

Por semelhança de triângulos!

Se você é um leitor ou uma leitora deste blog, você já viu que aqui é abordado sempre o fato de que a semelhança de triângulos está por detrás de diversos conceitos aprendidos em Geometria. Isto quer dizer que, ao invés de propor aos estudantes que decorem, sem sentido, 40099009994 de coisas diferentes, tenho defendido que eles e elas aprendam os fundamentos dos temas estudados, que entendam suas propriedades e também suas demonstrações, para que, com informações anteriores, que eles e elas já possuem, construam novos conhecimentos.

Um estudante, ou uma estudante que construiu com solidez o conceito de semelhança de triângulos, vai conseguir desenvolver, e sem decoreba,  muito bem a trigonometria, só para dar um exemplo.

Mas vamos ao tema de hoje, aqui vamos, usando semelhança de triângulos, o conhecimento de que ângulos opostos pelo vértice são iguais e de que o ângulo inscrito é igual à metade da medida do seu arco, fazer a demonstração, com o apoio do GeoGebra (construção interativa disponível em [1]) do primeiro caso da potência de um ponto.

Criando triângulos...

Como tenho defendido, uma demonstração é um jogo jogado, nela, sabemos de onde estamos partindo, no caso da figura 1 e onde queremos chegar, ou seja, em BC.BP= DP.DE. Veja que tudo indica que a semelhança de triângulos será um caminho para que cheguemos ao que queremos, uma vez que em BC.BP= DP.DE temos razão e proporção.

Vou reescrever esta igualdade para tornar mais claro o meu posicionamento: BC/DE=DP/BP, e, se tem razão e proporção, e só faltam dois segmentos de reta para termos dois triângulos, já podemos levantar as informações que temos para estabelecer como hipótese para provar a nossa tese BC.BP= DP.DE. 

Veja, que uma demonstração não é uma iluminação divina, quem a faz sempre tem intencionalidades bem marcadas, e, muitas vezes, escondidas sob um "é fácil ver que" e muitas linhas de raciocínio puladas.

Vamos então ao primeiro passo da nossa demonstração, vamos, a partir da intencionalidade apresentada, ou seja, visando criar dois triângulos, traçar dois segmentos de reta BD e EC e obter os triângulos PBD e PEC:

Figura 2: Elaborada a partir de [1]

Circunferência e ângulos inscritos, que surpresa!

Agora, veja que, como estamos tratando de circunferência, pontos sobre esta circunferência e cordas também nela, a partir destes pontos, nossos conhecimentos de propriedades de ângulos inscritos serão muito úteis.

Veja que os ângulos alfa e beta estão inscritos sob o mesmo arco BE, conforme a figura 3 mostra adiante:

Figura 3: Elaborada a partir de [1]

Temos, também, conforme a figura 4 adiante mostra, os ângulos gama e sigma, iguais e opostos pelo vértice, o que nos mostra que os triângulos PBD e PEC são semelhantes pelo caso aa (ângulo, ângulo):

Figura 4: Elaborada a partir de [1]

Lados homólogos são proporcionais

Como  PBD e PEC são semelhantes, BP e PE são homólogos, conforme a figura 5 destaca:

Figura 5: Elaborada a partir de [1]

Pelo mesmo motivo DP e PC também são homólogos, conforme a figura 6 mostra:

Figura 6: Elaborada a partir de [1]

Como lados homólogos são proporcionais, isto nos leva a: BP/PE=DP/PC, reorganizando esta igualdade temos: BP . PC = DP . PE. como queríamos demonstrar.

Link consultado:

[1] https://www.geogebra.org/m/xh5a8sn8

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. É também orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES.