Demonstração de Potência de um ponto, caso 2 (teorema das secantes), com o apoio do GeoGebra

O segundo caso de potência de um ponto, DC.BC=FC.EC, é ilustrado pela figura 1, adiante:

Figura 1: Elaborado a partir de [1]

Veja que aqui temos uma circunferência e podemos imaginar, construindo mentalmente cordas desta circunferência, dois triângulos que vão nos auxiliar a cumprir o nosso intuito, que é o de demonstrar este caso. Também, já podemos deixar os nossos conhecimentos de semelhança de triângulos e de ângulo inscrito de sobreaviso...

Quando estamos demonstrando, temos a nossa tese, neste caso: DC.BC=FC.EC (tese é o que queremos provar, o fim do caminho), e a nossa hipótese (na qual utilizamos todas as informações que temos para chegar à tese), neste caso, a grosso modo, que se eu usar semelhança de triângulos e ângulos inscritos eu vou conseguir provar minha tese. Veja que nunca começamos da tese, porque ela é o FIM do caminho, o ponto de chegada.

Dito isto, e lembro que vou escrever a demonstração em língua portuguesa, como em uma conversa, explicando as intencionalidades de cada passo, a ideia é entendermos o porquê de cada escolha aqui feita.

Em busca de triângulos semelhantes

Buscando dois triângulos semelhantes, vamos traçar ED e BF (o ponto alto da demonstração já é este, logo no começo), e obter dois triângulos BFC e EDC, como mostra a figura 2.

Figura 2: Elaborado a partir de [1]

E por que fazemos isto? Observe que os triângulos BFC e EDC têm em comum o ângulo ECB. Basta então, agora, buscar o segundo ângulo em comum deles para, pelo caso aa, afirmarmos que BFC e EDC são semelhantes.

Veja que, de propósito, os segmentos ED e BF foram construídos para que o arco DF, fosse, ao mesmo tempo, arco do ângulo DEF e do ângulo CBF, que serão congruentes, por este fato (figura 3).  Logo, pelo caso aa (ângulo, ângulo), BFC e EDC são semelhantes.

Figura 3: Elaborado a partir de [1]

Fechando a demonstração

Vamos, para facilitar, explicitar os três ângulos internos de cada um dos triângulos supracitados, como se pode ver na figura 4.

Figura 4: Elaborado a partir de [1]

Criei, à guisa de ilustração, apenas para facilitar a visualização, marcando as cores dos ângulos e destacando os segmentos de reta que compõe os lados dos triângulos envolvido, a figura 5 abaixo, nela é possível ver que os lados homólogos dos dois triângulos envolvidos:

Figura 5: Elaborado a partir de [2]

A partir do momento em que estabelecemos que os triângulos BFC e EDC são semelhantes, sabendo que lados homólogos são proporcionais e que temos interesse nos lados BC, EC, FC e DC, vamos usar razão e proporção, assim:

BC/EC= FC/DC, 

reorganizando a igualdade, temos:

DC.BC=FC.EC

Como queríamos demonstrar.

Links consultados:

[1] https://www.geogebra.org/m/tps2wgye#material/urzrskbd

[2] https://www.geogebra.org

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. É também orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES.