Demonstrando a Lei dos Cossenos, com Geometria Dinâmica

Construir o conhecimento, a partir do que se sabe, faz com que o aprendizado seja significativo, Ausubel nos alerta neste sentido [1].

Também Duval [2] nos alerta que, ao construirmos um conceito, devemos utilizar ao menos duas representações semióticas do mesmo objeto matemático, para evitar a confusão entre objeto e representação, tal confusão se constitui em um obstáculo epistemológico.

Na demonstração de hoje, iremos utilizar os conceitos, conhecidos por estudantes de nono ano do ensino fundamental e do Ensino Médio, de cosseno e o famoso Teorema de Pitágoras para demonstrar a lei dos cossenos a²= b²+c²-2bc.cos â, coordenando representações figurais e algébricas dos objetos matemáticos abordados. Vamos à ela.

Em busca de triângulos retângulos

Usamos a lei dos cossenos para triângulos quaisquer, e para chegarmos à ela vamos usar triângulos retângulos, os quais têm muitas propriedades conhecidas com as quais podemos trabalhar. Veja, que temos intencionalidade, sempre que começamos uma demonstração, temos que ter em mente de onde estamos partindo, neste caso, de um triângulo não retângulo qualquer (ele é não retângulo justamente para abrangermos quaisquer triângulos com a lei em foco), e onde desejamos chegar a²= b²+c²-2bc.cos â, o nosso ponto de chegada, já indica que iremos usar produtos notáveis, teorema de Pitágoras e Cosseno. Já com isto em mente, vamos começar a nossa caminhada. Em tempo, esta demontração está disponível, em Geometria Dinâmica, em [3].

Começamos, fazendo um triângulo não retângulo, cuja altura em relação a AC está, forçosamente, dentro do próprio triângulo, como na figura 1.

Figura 1: Elaborada a partir de [3]

Agora, com a intencionalidade matemática supracitada, vamos traçar uma altura em relação a AC, partindo de B, isto irá dividir o nosso triângulo ABC em dois triângulos retângulos BAH e BHC, veja aí que o que precisamos para fazer a nossa demonstração já está posto [este é o ponto alto desta demonstração].

Vamos a BAH:

Figura 2: Elaborada a partir de [3]

Usando Pitágoras, em BAH, temos c²=h²+m². [reserve]

Vamos agora a BHC:

Figura 3: Elaborada a partir de [3]

Usando Pitágoras, em BHC, temos a²=h²+n². [reserve]

Da sopa de letrinhas sai a lei buscada

Vamos reunir o que temos. Até agora temos c²=h²+m² (I) e a=h²+n² (II), a lei buscada é a²=b²+c²-2bc.cosâ.

Já temos a², c² e precisamos de cos â, que também conseguimos a partir de BAH, cos â=m/ccos â=m/c, reorganizando a igualdade, temos m= c. cos (â)  (III).

Nossa lei começa com a², vamos então usar II para chegar à lei buscada:

• a²=h²+n², usando (I) vemos que h²=c²-m², substituindo, temos:
• a²= c²-m²+n², Olhando a figura 2, vemos que n=b-m, substituindo, temos:
• a²= c²-m²+(b-m)², fazendo o quadrado da diferença, em (b-n)², temos:
• a²= c²-m²+b²-2bm+m², reorganizando a igualdade, temos.
• a²= c²+b²-2bm , mas de (III) sabemos que m = c.cos â, agora é só substituir e chegar à lei buscada:

a²= c²+b²-2bc. cos â

CQD.

A demonstração é análoga para os demais ângulos internos do triângulo ABC supracitado.

Links Consultados

[1] https://www.periodicos.ufpa.br/index.php/revistaamazonia/article/view/1708
[2] https://novaescola.org.br/conteudo/262/david-ausubel-e-a-aprendizagem-significativa
[3] https://www.geogebra.org/classic/kuvbnpyh

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. É também orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES.