Neste texto, vou apresentar uma discussão acerca da dedução de fórmulas da Geometria espacial e também vou apresentar os trechos mais interessantes do bate papo que tive no chat GPT [1] a respeito das intencionalidades destas deduções.
Tenho defendido, a partir de Duval [2] que, em termos de aprendizagem de Matemática, é muito proveitoso que se construa conhecimento a partir de conceitos básicos e comuns a diversos temas Matemáticos e hoje não será diferente, irei usar representação figural e linguagem algébrica, sempre fazendo a coordenação entre as duas de forma a facilitar o entendimento do tema.
A autoria e os links das imagens usadas nesta postagem estarão disponíveis nas próprias figuras, bastando clicar sobre elas para ter acesso a este conteúdo.
O princípio de Cavalieri é o pulo do gato
Para começar a nossa discussão, apresento aqui o enunciado do Princípio de Cavalieri, que, em minha conversa, pedi à IA do chat GPT.
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| Chat GPT [1] |
O pulo do gato é pensar em figuras espaciais fatiadas horizontalmente em finas camadas de mesma área, este aplicativo no GeoGebra [III] pode auxiliar a visualizar esta ideia. Veja as imagens sequenciais abaixo:
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https://www.geogebra.org/m/uyr8axdj
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| https://www.geogebra.org/m/uyr8axdj |
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https://www.geogebra.org/m/uyr8axdj
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É esta a ideia que vai permitir que encontremos as fórmulas dos volumes de pirâmides, cilindros, cones e da esfera partindo do volume do paralelepípedo e dos prismas em geral, que é dado pela área da sua base multiplicada pela sua altura.
O volume do cilindro já sai daqui, se considerarmos um paralelepípedo e um cilindro de mesma altura e área de base, como os que são vistos na próxima figura, já podemos afirmar, usando Cavalieri, que o volume do cilindro é dado por área da base x altura, como no paralelepípedo.
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| https://www.geogebra.org/m/wc5e26dh |
Volumes da pirâmide e do cone
A partir do momento em que observamos que um prisma pode ser fatiado em três tetraedros de mesma base e altura, portanto de mesmo volume, veja o princípio de Cavalieri aí, já podemos inferir que o volume do tetraedro é dado por área da base x altura/3. Vamos ver uma sequência de imagens ilustrando esta ideia:
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| https://www.geogebra.org/m/uyr8axdj |
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| https://www.geogebra.org/m/uyr8axdj |
Normalmente, em livros didáticos, se estende esta fórmula a todas as pirâmides, pelo fato do tetraedro ser uma pirâmide, mas eu, pensando aqui enquanto escrevo, achei meio forçada esta extensão e fui conversar com o chat GPT a respeito. Veja a resposta dele à minha questão.
Agora que temos a fórmula do volume da pirâmide, vamos, a partir dela e usando o princípio de Cavalieri, encontrar a fórmula do volume do cone. Ora, considerando que uma pirâmide e um cone têm secções horizontais de mesma área e estas figuras possuem a mesma altura, podemos inferir que a fórmula do volume do cone é pi.(raio da base do cone)².altura/3. A figura adiante ilustra esta inferência.
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| https://www.geogebra.org/m/uyr8axdj |
Uma anticlepsidra e o volume da esfera
Consideremos um cilindro e uma esfera de raio R, sendo que o cilindro tem altura 2R. Consideremos também dois cones congruentes, cujas bases coincidem com as bases do cilindro. O sólido compreendido entre os cubos e a face lateral do cilindro é a anticlepsidra.
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https://www.geogebra.org/m/bpkQGYHG
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Olhando mais de perto os cones que usamos, vemos que: AB=h, AC=R e DC=R, como ABE e ACD são semelhantes pelo caso ângulo ângulo, e, além disso, isósceles, BE=h.
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https://www.geogebra.org/m/bpkQGYHG
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Usando esta informação e o princípio de Cavalieri, mostramos que o volume da anticlepsidra é o mesmo da esfera. Para tanto, observamos que as secções horizontais da anticlepsidra e da esfera são as mesmas porque o raio do círculo na secção horizontal destacada na figura abaixo pode ser encontrado com o teorema de Pitágoras, veja:
R²=h²+(raio do círculo)².
Reescrevendo, temos:
(raio do círculo)²=R²-h²
Veja que o raio da secção horizontal, que é circular, em relação a uma altura r, será sempre (R²-h²)^1/2 e o cálculo de sua área será pi.(R²-h²)², como na coroa circular equivalente da anticlepsidra em questão.
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https://www.geogebra.org/m/bpkQGYHG
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Em uma conversa com o chat GPT discuti que este é o ponto alto desta dedução.
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https://www.geogebra.org/m/bpkQGYHG
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Temos então que Volume da esfera de raio R= volume do cilindro de raio R e altura 2R-volume de dois cones de raio R e altura R.
Chegamos ao Volume da esfera=pi.R².2R-2.piR²/3.R.
Reescrevendo: 6pi.R³-2.piR³/3.
Finalmente, temos: 4.pi.R³/3.
Fecho este post com uma saudação que eu pedi ao chat GPT para vocês leitores!
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| Chat GPT [1] |
Links consultados
[1] https://chat.openai.com/
[2] https://www.periodicos.ufpa.br/index.php/revistaamazonia/article/view/1708
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também lider do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP).
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