Sempre que falo de produtos notáveis eu lembro que, quando os estudei, eu nunca entendi o porquê de (a+b)² não ser igual a a²+b², e, não me senti sozinha, quando, muito mais tarde, isto virou até um meme. Uma rápida olhada no Google já nos retorna este tipo de conteúdo.
 |
| Imagem de internet |
É a propriedade distributiva da multiplicação que está por detrás de (a+b)² ser a²+2ab+b², mas, eu, à época da escola, não fazia ideia de que era isto o que estava envolvido quando me foi proposto que decorasse, mesmo sem entender o porquê, que (a+b)²= a²+2ab+b².
Esta compreensão só veio mais tarde, já na licenciatura em Matemática. Neste post vamos, além de pensar na propriedade supracitada, ver os produtos notáveis a partir da ideia de áreas, uma vez que compreender de diferentes maneiras e com diferentes representações, um objeto matemático pode facilitar a aprendizagem de Matemática, segundo Duval (I).
O Algeplan
Usando o Algeplan, em uma unidade de medida arbitrária, vamos observar produtos notáveis de forma geométrica, tal observação não se constitui em uma novidade, estando presente, inclusive, no livro II, da obra "Os elementos", de Euclides (II). Voltando ao Algeplan, as peças deste material que vamos usar neste post são:
Quadrados de lados x e área x²;
Retângulo de lados x e 1 e área x;
Virando-se a peça x do avesso, temos a peça -x.
Quadrados de lados 1 e área 1².
Virando-se a peça 1 do avesso, temos a peça -1.
Fazendo o Algeplan com dobradura
No vídeo abaixo ensino como fazer o Algeplan com canetinhas e uma folha A4.
Área, medidas dos lados e produtos notáveis
Quadrado da soma
Veja que, com uma peça x², 2 peças x e uma peça 1², podemos montar um quadrado de lado x+1, cuja área é dada por lado², ou seja, (x+1)²=(x+1)(x+1)=x²+2x+1.
Quadrado da diferença
Veja que, com uma peça x², 2 peças -x e uma peça 1², podemos montar um quadrado de lado x-1, cuja área é dada por lado², ou seja, (x-1)²=(x-1).(x-1)=x²-2x+1.
Quadrado da soma pela diferença
Já com uma peça x² e uma peça -1, podemos fazer a ilustração do resultado de (x+1).(x-1), que é x²-1².
Mas, e como representamos (x+1)(x-1)? Ora, a figura de lados (x+1)(x-1) é um retângulo de área x²-1², fiz uma ilustração no GeoGebra para mostrar que a área do retângulo de lados (x+1)(x-1) é idêntica à área do polígono de seis lados, resultante da retirada do quadrado de área -1, do quadrado de área x² acima.
Para facilitar a nossa conversa, eu tornei x=3. Observe os triângulos de áreas 8, 9 e 1.
Considerações finais
O uso da representação geométrica para a discussão dos produtos notáveis pode explicitar que os quadrados da soma e da diferença são, em representação figural, literalmente, quadrados, facilitando a compreensão de que calculando a área dos quadrados é possível afastar o falso entendimento de que (a+b)²=a²+b² ou (a-b)²=a²-b².
Também o uso da representação geométrica para esta discussão pode auxiliar o estudante a compreender que o produto da soma pela diferença pode ser representado pela diferença, literal, entre dois quadrados, facilitando a compreensão do conceito em foco.
O estudo de produtos notáveis com o Algeplan está entre as práticas da mala itinerante do nosso laboratório, clique aqui para acessar a nossa playlist com atividades no youtube, se você, professor ou professora, é de São Gonçalo ou Niterói entre em contato para nos levar pessoalmente para a sua escola.
Links consultados
[I] https://www.periodicos.ufpa.br/index.php/revistaamazonia/article/view/1708[II] http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/6395_3099_ID.pdf
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também lider do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP).