As dízimas periódicas nos permitem abordar propriedades fundamentais dos números racionais, tais como o fato de que eles têm duas representações decimais possíveis, uma delas infinita e com padrões repetitivos, ou seja, as dízimas periódicas. A outra delas é a representação decimal finita.
Representação finita ou infinita e periódica?
Um número racional, cujo denominador é diferente de um, tem representação finita ele pode ser fatorado em divisores primos da base decimal. Qualquer coisa diferente disto irá resultar em dízimas periódicas. Por exemplo em 1/4, 4 é fatorado em 2.2, ou seja, um fator primo da base 10, logo, a representação decimal de 1/4 é finita como segue: 1,25. Já 5/6 tem representação decimal infinita e periódica, pois 6 é fatorado em 2.3, 3 não é um divisor primo da base 10, logo a representação decimal de 5/6 é infinita e periódica, como segue: 5/6=0,8333333...
Mas, por que as dízimas periódicas são periódicas? Bem, elas têm um padrão repetitivo porque o número de restos possíveis para uma divisão qualquer é limitado, por exemplo, uma divisão por 7 só pode ter resto 0,1,2,3,4,5,e 6. Em algum momento da divisão algum resto irá se repetir, assim como tudo o que ocorre após esta repetição e isto acontecerá de novo e de novo, formando um padrão repetitivo e infinito.
A calculadora MusicalColorida (criada pelo grupo Rumo à Educação Matemática Inclusiva [1]) ilustra cada algarismo após a vírgula, de números resultantes de operações nela feitas com uma nota musical e com uma cor, formando conjuntos de sons e cores. Isto facilita o ensino aprendizagem não só para estudantes com baixa visão ou cegueira e também estudantes surdos, os quais necessitam de estímulo visual, mas também para todos os estudantes, uma vez que recursos diferenciados atendem e melhoram o aprendizado de todos.
Vamos bailar com dízimas periódicas?
Faço aqui então alguns convites:
Que tal valsar com uma dízima periódica?
Que tal pular o São João, ouvindo Cai Cai Balão, com outra dízima periódica?
Intencionalidades pedagógicas e matemáticas
Um conjunto de sons em um padrão repetitivo, quando atrelado à representação decimal de uma dízima periódica, informa ao aprendente que:
- o número representado é racional;
- este número racional não tem o número um no denominador;
- este número racional, em forma de fração, tem ao menos um dos fatores do denominador diferente de 2 ou 5 ;
- este padrão repetitivo tem a ver com o número limitado de restos que uma divisão euclidiana pode ter.
Também o recurso explorado hoje oferece a oportunidade de visualização do padrão repetitivo em um mosaico, isto traz mais uma informação ao estudante e abre até mesmo uma possibilidade de aprofundamento no estudo dos racionais por meio da elaboração de mosaicos artísticos com o uso de dízimas periódicas.
Por último, mas não menos importante, torna-se imperioso discutir o porquê da fração geratriz de uma dízima periódica ser obtida por meio da colocação, no denominador de uma fração, de tantos algarismos 9 quantos são os algarismos do período considerado, período este que ocupará o numerador desta mesma fração. Uma vez que todas as frações usadas nas músicas aqui utilizadas utilizaram este recurso para que o início de cada uma delas se repetisse recorrentemente.
Imagine a dízima 0,323232.. =x, [já sabemos, pelo truque acima que a sua fração geratriz é 32/99]
Voltemos a 0,323232.. =x.
Queremos eliminar a parte decimal infinita, e como faremos isso?
Ora, se eu multiplicar x por 100, consigo ficar com 100x=32,323232...
Agora basta diminuir 100x-x=32,323232...-0,32323232...
Teremos 99x=32
Dividindo ambos os lados da igualdade por 99, chegamos à nossa fração geratriz:
x=32/99.
Considerações finais
Atividades diferenciadas devem ter intencionalidades bem marcadas, neste caso, o uso da música, em uma calculadora tem a finalidade bem marcada de ilustrar a discussão em torno de propriedades dos números racionais, aprofundando o debate.