Para demonstrarmos a fórmula que nos permite calcular a área da superfície da esfera, já temos que partir do conhecimento que temos da fórmula do cálculo de seu volume e do volume da pirâmide (clique aqui para acessar este conteúdo), uma vez que iremos usar infinitas pirâmides cujas alturas coincidem com o raio r da esfera, para alcançar o nosso objetivo. A imagem abaixo ilustra o nosso intento.
Com as intencionalidades postas, vamos, passo a passo, alcançar o nosso intento.
Preparando o terreno
Vamos elencar as fórmulas que já temos, considerando o raio da esfera e a altura da pirâmide iguais a r:
- Volume da esfera V=4pir³/3
- Volume da pirâmide V=Área da base . r/3
Nosso objetivo aqui é o de conseguir uma igualdade na qual poderemos isolar o que desejamos, que é o somatório das infinitas áreas das bases das pirâmides consideradas, uma vez que ele e a superfície da esfera coincidem.
Vamos pensar então no somatório dos volumes das infinitas pirâmides:
Vnpirâmides=(abase1).r/3+(abase2).r/3+....+(abasen)r/3
Colocando r/3 em evidência, para nos aproximarmos do que nos interessa, ou seja, V=4pir³/3, teremos:
Vnpirâmides=r/3.(abase1+abase2+...+abasen)
O pulo do gato
Agora, como Vesfera=Vnpirâmides
É um fato que os volumes das infinitas pirâmides reunidas é igual ao volume da esfera, então, podemos fazer:
4pir³/3 = r/3.(abase1+abase2+...+abasen)
Dividindo ambos os lados da igualdade por r/3, teremos:
4pi r² = (abase1+abase2+...+abasen)
Que é o que queríamos demonstrar.
Aplicação interativa
Desenvolvemos um app no GeoGebra que permite a manipulação e a vista por diversos pontos de vista de uma esfera que tem uma pirâmide com base coincidindo com a sua superfície e altura igual ao seu raio r. Clique aqui para acessá-la.
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também lider do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP).