Equação remete à ideia de igualdade, e para falar de igualdade a balança de dois braços se mostra como um recurso interessante, uma vez que ela só estará estabilizada se os seus dois lados sustentarem o mesmo peso.
Veja na figura abaixo uma balança de braços feita com um cabide velho, barbante e dois fundos de garrafa PET, nela representamos a igualdade 1=1.
Quando trabalhamos com um recurso em sala de aula é sempre necessário apresentá-lo aos estudantes, e esta apresentação deve ser feita da maneira mais simples possível, apresentar a igualdade 1=1 é a alternativa que encontrei para auxiliá-los a visualizar, com o material a equidade que iremos buscar ao longo de toda a aula.
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| 1=1 |
Também é interessante mostrar o que estamos tentando evitar, que é a desigualdade, para isto, eu acrescento mais uma tampinha do lado esquerdo e mostro que a balança se desequilibra. Adiante vou apresentar casos nos quais considero o uso da balança um facilitador da compreensão de propriedades da equação do primeiro grau.
O caso x=1 e suas intencionalidades pedagógicas e matemáticas
Pense na seguinte situação, você quer apresentar o x como uma variável, ou seja, como algo que pode ter diferentes valores.
Neste caso, x=1, temos, no membro esquerdo da equação, a variável x e, no membro esquerdo da equação, o número 1. Relacionando estas duas informações temos o sinal de igual. Ou seja, a informação que x=1 nos dá é que a variável x está assumindo o valor 1.
A balança nos ajuda mostrando que um saquinho* nomeado como x do lado esquerdo e uma tampinha do lado direito.
Neste momento é importante enfatizar que o saquinho representa a variável x, a tampinha representa o número 1 e os dois copinhos da balança estarem na mesma altura representam o sinal de igual em x=1.
Com isto esclarecido, é momento de revelar o conteúdo do saquinho x, que é exatamente uma tampinha:
Este caso ajuda na compreensão do conceito de variável, a entender os papéis dos membros da equação e também a enfatizar a importância da igualdade entre os membros. Dito isto, podemos passar para o próximo caso.
O caso x+1=2 e suas intencionalidades pedagógicas e matemáticas
Este caso permite que discutamos o uso do elemento neutro da adição na resolução de uma equação do primeiro grau.
Observe que o tal do sai de um lado + e chega do outro - inexiste em Matemática. O que existe é o uso do elemento neutro da adição, no qual um número somado ao seu oposto é igual a 0. É esta ideia que vamos usar e destacar aqui.
Veja que x+1=2 utiliza este recurso, pois para isolar x usamos -1 dos dois lados da equação, uma vez que para a igualdade se manter o que é feito de um lado deve ser feito do outro lado.
O que ocorre, de fato, é:
x+1-1=2-1
Podemos reescrever:
x+0=1 [lembre-se que zero é o elemento neutro da adição]
A resposta salta aos olhos:
x=1
Agora vamos ver a mesma operação na balança
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| x+1=2 |
Temos no membro esquerdo o saquinho x e mais uma tampinha, temos no membro direito duas tampinhas e como os copinhos estão equilibrados temos a igualdade acontecendo. Portanto, x+1=2 está representado na balança.
Retiramos uma tampinha de cada lado, simbolizando o -1 em cada membro da equação:
Destacamos que a igualdade (equilíbrio entre os copinhos) se manteve.
Logo, a solução salta aos olhos:
x=1
Abrimos o saquinho x para mostrá-la aos estudantes.
O caso 2x=2 e suas intencionalidades pedagógicas e matemáticas
Pense na seguinte situação, você deseja discutir o uso do elemento neutro da multiplicação na resolução de uma equação do primeiro grau.
Observe que o tal do sai de um lado . e chega do outro / inexiste em Matemática. O que existe é o uso do elemento neutro da multiplicação, no qual um número multiplicado pelo seu inverso é igual a 1. É esta ideia que vamos usar e destacar aqui.
Veja que 2x=2 utiliza este recurso, pois para isolar x usamos .1/2 dos dois lados da equação, uma vez que para a igualdade se manter o que é feito de um lado deve ser feito do outro lado.
O que ocorre, de fato, é:
2x . 1/2=2. 1/2
Podemos reescrever:
x.1=1 [lembre-se que um é o elemento neutro da multiplicação]
A resposta vem naturalmente:
x=1
Agora vamos ver a mesma operação na balança
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| 2x=2 |
Peça a seus estudantes para observarem que há dois saquinhos x do lado esquerdo, duas tampinhas do direito e que a balança está equilibrada.
Ora, dividindo-se os dois lados da balança por 2, isto é possível fazer visualmente, relacionando cada saquinho x a uma tampinha, chegamos à conclusão de que cada saquinho só pode conter uma única tampinha e fazemos a revelação, x=1.
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| 2x=2 |
Considerações finais
Os três casos que abordei ilustram possibilidades de trabalho com a balança de dois pratos na compreensão de propriedades da equação do primeiro grau. A partir destes três casos é possível estabelecer outras situações e mudar o valor da variável para que o/a estudante não tenha a ilusão de que x é sempre igual a 1.
Para trabalhar casos como x-1=5 é necessário saltar do material concreto para a imaginação, pela impossibilidade de representar números negativos com objetos. Usando o PHET (I) você pode ilustrar esta situação, como segue abaixo:
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| x-1=5 |
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Link consultado
[1] https://phet.colorado.edu/sims/html/equality-explorer/latest/equality-explorer_all.html?locale=pt_BR
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também lider do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP).
*(desprezamos o peso do saquinho porque a balança não tem sensibilidade o suficiente para que ele cause alteração em nossa atividade).