Decoramos, na escola, que o seno de 30º é igual a 1/2. Fazemos tabelas, cantamos, mas quase nunca nos perguntamos o porquê disto ser verdade. Neste post iremos discutir a demonstração do porquê disto ser um fato, e, em Matemática, algo só é verdade após demonstrado, mas vamos fazer esta prova discutindo as suas intencionalidades.
Discutindo intencionalidades
Temos a nossa tese, que é onde queremos chegar, ou seja: o seno de 30º é 1/2.
Atenção! Não se parte da tese, porque ela é o ponto de chegada da nossa demonstração.
Temos a nossa hipótese, que é o conjunto de informações que temos que nos permitirão chegar à tese. Vamos à elas:
1. A prova envolve a utilização de triângulos retângulos, bem como propriedades dos triângulos equiláteros e conceitos relacionados ao seno.
2. Seno=cateto oposto/hipotenusa.
3. Todos os lados de um triângulo equilátero são iguais.
4. Todos os ângulos internos de um triângulo equilátero são iguais a 60º.
5. Um triângulo equilátero pode ser dividido em dois triângulos retângulos congruentes usando uma ceviana ligando um de seus vértices ao ponto médio do seu lado oposto.
6. Uma ceviana, ligando um de seus vértices ao ponto médio do seu lado oposto, em um triângulo equilátero é, ao mesmo tempo, altura, mediana, mediatriz e bissetriz.
Veja que o nosso alvo é provar que o seno de 30º é meio, ora, em um triângulo equilátero qualquer, usando uma ceviana, ligando qualquer vértice ao ponto médio de seu lado oposto, teremos dois triângulos retângulos congruentes em que um lado vale justamente a metade do lado do triângulo equilátero. Já é um ótimo ponto de partida. Então vamos seguir daí.
Veja que estamos partindo da hipótese.
Iniciando a nossa demonstração
Vamos iniciar a nossa prova construindo um triângulo equilátero qualquer, conforme mostra a figura adiante, ela evidencia os itens 1, 3 e 4 da nossa hipótese:
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| Figura 1: Elaborado a partir de [1] |
Agora nós vamos partir em busca do nosso triângulo retângulo que tem um lado l e um lado l/2, para isso vou usar uma ceviana.
Veja que os itens 1, 5 e 6 da nossa hipótese vão nos ajudar neste sentido.
Vamos aqui traçar uma ceviana partindo do vértice C, até o ponto médio do lado oposto, dividindo-o em dois segmentos de medida l/2.
Esta ceviana é, ao mesmo tempo, mediana e bissetriz.
Essa ceviana, como bissetriz, divide o ângulo C=60º em dois ângulos iguais de 30º, como mostra a figura abaixo.
Também ela divide o triângulo equilátero ABC em dois triângulos retângulos congruentes ACH e BCH.
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| Figura 2: Elaborado a partir de [1] |
Vamos trabalhar com o triângulo retângulo ACH, mas poderia ser o BCH também, porque ACH e BCH são congruentes. Os itens 1 e 5 da hipótese irão nos ajudar aqui.
Observe que, em ACH, temos que AH mede l e AC mede l/2.
AC é hipotenusa de ACH e AH é o cateto oposto a 30º.
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| Figura 3: Elaborado a partir de [1] |
Usando os itens 1 e 2 da nossa hipótese, vamos chegar à nossa tese, temos aqui que AH/AC= 1/2.
Como AH= cateto oposto a 30º e AC= hipotenusa de ACH.
Podemos escrever cateto oposto a 30º/ hipotenusa de ACH.
E, como, seno=cateto oposto/hipotenusa, podemos escrever que:
seno de 30º=1/2 como queríamos demonstrar.
Veja que chegamos à nossa tese, que é o final do nosso caminho.
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| Figura 4: Elaborado a partir de [1] |
Expandindo:
A demonstração do cosseno de 60º é análoga à demonstração anterior, portanto é possível fazer, com ideias discutidas anteriormente, esta prova.
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| Figura 5: Elaborado a partir de [1] |
Link consultado:
[1] https://www.geogebra.org/m/tps2wgye#material/fjadfddz
Update:
Recomendo a leitura da dissertação de mestrado de Renata Siqueira Reis, orientada por mim, a qual discute o tema e propõe um conjunto de atividades com materiais de baixo custo para auxiliar estudantes a construir o seu entendimento,
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A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também lider do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP).
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