Três pontinhos em Matemática não significam nada, entendendo, de uma vez por todas, a prova por indução!

A Matemática possui um vocabulário próprio, com significados específicos e bem definidos. Ao contrário da língua portuguesa, não é uma questão de desconhecimento, mas sim de existência clara. O termo "indeterminado" na Matemática não se refere ao desconhecido, mas sim a situações em que há múltiplas soluções possíveis. Em relação ao uso dos três pontinhos na língua portuguesa para indicar algo que segue para sempre, na Matemática é necessário fornecer uma prova indutiva para estabelecer essa afirmação. Vamos explorar mais detalhes sobre isso adiante ao demonstrar que a soma dos n primeiros números naturais é igual a n(n+1)/2.

Dominós caindo um a um

Construções gigantes com dominós, como no vídeo acima [I], nas quais basta você derrubar o primeiro dominó, para que ele derrube o próximo, e o próximo derrube o próximo e assim por diante, ilustram a indução matemática, a grosso modo, uma vez que ela funciona assim: se você provar que o que funciona para k, funciona para k+1, você irá derrubar, um a um, os infinitos dominós que fazem parte da sua prova. Antes de sair derrubando dominós por aí, vamos relembrar o que estamos tentando provar. Ora, queremos demonstrar que a soma dos n primeiros números é igual a n(n+1)/2, assim:

1+2+3+...+n = n (n+1)/2

SPOILER: Pense nos dominós, então láaaa no horizonte, ou seja, lá no final da nossa prova, já vamos ter em mente que estamos buscando provar que esta igualdade funciona para n+1, mas esta é a nossa Tese, e a gente não pode partir dela. Então o nosso plano é buscar o que acontece n+1, que já é o fim da prova. Daremos uma olhada em onde queremos chegar[basta substituir n por n+1 no membro esquerdo da igualdade]: (n+1)(n+1+1)/2, reorganizando isto, temos: ((n+1)(n+2)/2, desenvolvendo isso, temos (n²+3n+2)/2 que é o nosso ponto de chegada.

Já sabendo onde queremos chegar, vamos então caminhar pela hipótese e começar a nossa prova! Vamos pelos passos usuais, o passo base e o passo indutivo.

Passo base

Vamos verificar se a afirmação vale para um número baixo, normalmente o um. Vamos igualar n a 1 no nosso exemplo:

1= 1 (1+1)/2

Resolvendo, temos.

1=1

Ou seja, o nosso passo base funciona.

Passo indutivo

Agora vem o pulo do gato, o momento de derrubar dominó por dominó, um a um, até o infinito, para isso vamos fazer n=k:

1+2+3+...+k = k(k+1)/2

Vamos acrescentar, dos dois lados da equação k+1, que é justamente, o cerne do passo indutivo que nos permitirá derrubar os infinitos dominós um a um.

1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)

Agora, como é uma igualdade, vamos trabalhar apenas com o seu segundo membro.

k(k+1)/2 + (k+1)

Desenvolvendo, colocando tudo no mesmo denominador, temos:

k(k+1)/2+2(k+1))/2

Fazendo a distributiva, temos:

(k²+k)/2+(2k+2)/2

Reorganizando, chegamos ao nosso alvo e completamos a nossa demonstração.

(k²+3k+2)/2

Link visitado

[I] https://www.youtube.com/watch?v=B4_VQ0tnzoU

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também lider do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP).