O Teorema de Tales normalmente é abordado nos anos finais do Ensino Fundamental. Infelizmente, normalmente a abordagem envolve um decoreba de a/b=c/d e que tais. Hoje vamos entender juntos a demonstração deste teorema. E vamos usar, mais uma vez, a semelhança de triângulos....
E, lá vamos nós...
Para começo de conversa....
Vamos iniciar considerando um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais i e h.
Observando os segmentos p, k, q e m, determinados por este corte, temos:
No passo 1 já temos a nossa Tese que é p/k=q/m, ou seja, o próprio Teorema de Tales. Este é o ponto de chegada da nossa demonstração, não podemos, portanto, partir daqui.
Nossa hipótese contempla que:
1. Existem três retas paralelas, que chamaremos de f, g e j
2. Existem duas transversais, i e h que cortam as retas f, g e j.
2. Existem duas transversais, i e h que cortam as retas f, g e j.
3. Quando os segmentos determinados pela interseção das transversais com as retas paralelas são desenhados, esses segmentos são proporcionais (ou seja, têm medidas proporcionais).
No passo 2 é possível observar que há um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais. Ora, para que o Teorema de Tales seja válido, devemos ter exatamente esta situação.
O passo 3 nos traz o ponto alto desta demonstração. Veja que o ponto de encontro das transversais é vértice, ao mesmo tempo, de dois triângulos cujas bases são paralelas. Suas bases são paralelas porque pertencem a retas do feixe de retas paralelas citado no passo 2.
Observe que os ângulos opostos pelo vértice e ângulos alternos internos são congruentes. Os ângulos em verde e em azul são congruentes por estes motivos.
Veja que os nossos dois triângulos em foco compartilham os ângulos em azul e em verde, e pelo caso, ângulo ângulo, são semelhantes.
(Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º, na Geometria plana, quando dois triângulos compartilham dois ângulos congruentes, o terceiro ângulo, forçosamente, deve ser congruente também e triângulos com três ângulos congruentes são semelhantes).
Veja que o fato de termos dois triângulos semelhantes, com lados homólogos proporcionais, lados que nos interessam na demonstração, vai abrir caminho para que provemos o teorema.
Agora, no passo 5, nossa estratégia será a de eliminar, usando o elemento neutro da multiplicação que é o 1, os denominadores na nossa equação (p+k)/p=(q+m)/q. Para isto, vamos multiplicar ambos os lados por pq.
[Este é um ponto importante, porque vamos buscar facilitar a nossa vida, ao tirarmos os denominadores]
Obtemos assim: (p+k).q=(q+m).p
Usando a propriedade distributiva, temos: pq+kq=pq+mp.
[Este é o pulo do gato do passo, queremos sumir com esta soma aí]
Subtraindo pq dos dois lados, usando portanto o elemento neutro da adição, que é o 0, temos:
kq=mp
Dividindo ambos os lados da igualdade por k, usando o elemento neutro da multiplicação, temos:
q=mp/k
Dividindo ambos os lados da igualdade por m, utilizando o elemento neutro da multiplicação, temos:
q/m=p/k
Como se trata de uma igualdade, podemos escrever:
p/k=q/m que é a nossa Tese, é onde queríamos chegar e chegamos, o que conclui a demonstração. CQD.
Você encontra esta demonstração interativa no aplicativo elaborado no contexto do LEM FFP e disponibilizado por nós em [1].
Você pode interagir com o Teorema de Tales no aplicativo elaborado no contexto do LEM FFP e disponibilizado por nós em [2].
Links visitados:
[1] https://www.geogebra.org/classic/aj9kwrus
[2] https://www.geogebra.org/m/dwhadneg
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP).
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