Somando e subtraindo frações com flutuadores de piscina!

 Operações com frações são o terror de muitas pessoas. Vi há algum tempo no Facebook um material muito interessante feito a partir de flutuadores de piscina, gostei da proposta, fiz uma versão para mim, elaborei uma oficina para o aprendizado de somas com frações e hoje a divido com vocês.

Material Necessário

Um flutuador de piscina recortado em cinco pedaços iguais, estes pedaços serão os nossos inteiros. Um deles deve ser mantido intacto, o segundo deve ser dividido em dois pedaços iguais (o que resultará em duas frações de 1/2), o terceiro deve ser dividido em três pedaços iguais (o que resultará em três frações de 1/3), o quarto deve ser dividido em quatro pedaços iguais (o que resultará em quatro frações de 1/4) e o quinto deve ser dividido em seis pedaços iguais (o que resultará em seis frações de 1/6).

Exemplo de recorte

Frações como relações parte todo

Durante grande parte dos anos iniciais são trabalhados os números naturais e suas propriedades com os alunos. Desta maneira, é muito natural que ao se iniciar os trabalhos com as frações (que pertencem a outro conjunto numérico [o dos números racionais] e que tem propriedades diferentes dos naturais) os estudantes tentem aplicar o que eles já conhecem (os naturais) para encontrar as respostas ao que eles estão conhecendo (os racionais). 

Este tipo de postura se mostra, por exemplo, na resolução da operação 1/2+1/2; muitos estudantes somam os numeradores (obtendo 2) e os denominadores (obtendo 4) e chegam ao resultado (incorreto) 2/4. É importante que saibamos que a raiz desse tipo de erro reside no fato de que os alunos estão utilizando propriedades dos naturais para operar com números racionais!

Para abordar adequadamente esta problemática é importante que o professor tenha consciência de que se está operando em um conjunto numérico novo para os alunos e que este conjunto (racionais) tem as suas especificidades.

Soma ou Subtrai o numerador e repete o denominador, por que?

Antes de partirmos para a operação em sí, é primordial que entendamos com o que estamos operando e o que isto significa. As frações são relações parte todo, nas quais o numerador indica com quantas partes estamos operando e o denominador indica em quantas partes o todo foi dividido.

O caso 1/2+1/2 

Vamos a um exemplo: retomando a operação 1/2+1/2 o que temos? Observando a figura abaixo, vemos que temos duas metades sendo somadas, ou seja, o 2 no denominador indica em quantos pedaços as nossas frações estão divididas e o 1 no numerador indica quantos pedaços nós temos para operar. O  nosso material concreto do dia ilustra esta situação:

1/2+1/2 

Quando somamos duas metades, nós alcançamos um inteiro como é possível ver abaixo:

1/2+1/2 =1

Ora, com o material é mais fácil ver que estamos somando duas metades, e que o resultado desta soma deve ser um inteiro. Aqui as propriedades das frações saltam aos olhos, e é por este motivo que indicamos o uso deste material para apresentar o novo conjunto numérico que contém as frações, assim como as novas propriedades que serão trabalhadas.

Mas, o que eu faço se os denominadores forem diferentes?

O caso 1/2+1/4

1/2+1/4

Usando o material, podemos visualizar o motivo pelo qual não podemos fazer esta soma diretamente, uma vez que se tratam de coisas diferentes a serem somadas.

Por este motivo, teremos que fazer trocas do material que temos em mãos visando ter peças iguais para, somente depois, operarmos.

Para começar, vamos trocar a peça maior 1/2, por duas peças de 1/4. Veja na foto abaixo que é possível fazer a troca de uma peça de 1/2 por duas peças de 1/4 pois teremos a mesma quantidade de flutuador em ambos os casos.

trocando 1/2 por  duas peças de 1/4

Com todas as peças de mesmo tamanho em mãos, chegamos à solução 3/4, para isto basta contar quantas peças de 1/4 temos em mãos.

1/4+2/4=3/4

E quando os denominadores não forem múltiplos, o que eu faço?

O caso 1/2+1/3

1/2+1/3

Nesta situação, e já de posse da informação de que para que possamos operar os flutuadores devem estar cortados na mesma quantidade de pedaços, basta dividirmos cada flutuador em um múltiplo de ambos os denominadores, por exemplo 6.

1/3=2/6

1/2=3/6

Com as trocas efetuadas, passamos a ter a seguinte operação a fazer:2/6+3/6 e a solução 5/6 surge quando reunimos os pedaços iguais, como pode ser visto abaixo:

2/6+3/6 =5/6

A atividade

O objetivo desta atividade é o de explorar conceitos sem falar deles diretamente. Aqui as relações e operações parte todo estão em foco. Ela deve ser feita em 3 momentos:

Atividades 1 e 2: turma separada em duplas ou trios

1) Faça as seguintes operações, utilizando somente os flutuadores de piscina. Dê as respostas com o mínimo possível de peças.

a) 1/2+1/2=

b) 1/4+1/4=

c) 1/3+2/3=

d)1/2+1/4=

e)1/3+2/6=

2) Discuta, no seu grupo, e escreva abaixo com suas palavras o que aconteceu em cada operação acima.

a)

b)

c)

d)

e)

Atividade 3: Com a turma reunida, no grupão, em uma roda de conversa, peça que os estudantes apresentem as conclusões de seus grupos aos seus colegas e que as discutam.

Conclusão

Esta é uma atividade de introdução de conceitos, nela a ideia é trabalhar propriedades deste novo conjunto (Racionais) com o suporte de material concreto. Em uma aula posterior é possível utilizar esta vivência para dar significado às somas de fração, ou seja, é possível articular a matemática tradicional à esta atividade e ao mesmo tempo ilustrar materialmente a primeira.

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP) e coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ.