Construindo relações, razões e identidades trigonométricas com semelhança de triângulos

Neste texto vamos, usando semelhança, e, em minutos, elaborar todas aquelas fórmulas que a gente decora sem saber, muitas vezes de onde vem. Vamos partir do triângulo retângulo...

Relações métricas no triângulo retângulo

As relações métricas no triângulo retângulo podem ser construídas por semelhança, observe que, no triângulo abaixo, temos três triângulos semelhantes por AA (ângulo, ângulo). 

Lembro que vale dizer que basta que dois triângulos tenham dois ângulos iguais para que o terceiro seja igual também, e para que eles sejam semelhantes (na geometria euclidiana, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, o famoso quinto postulado de Euclides).

Atenção, a proporcionalidade é fundamental para tudo o que vamos estudar neste texto. Triângulos semelhantes têm lados homólogos (entre os mesmos ângulos) proporcionais. É necessária esta proporcionalidade para preservar a semelhança, sem ela os triângulos se deformam.

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Vamos usar o caso AA e a proporcionalidade de lados homólogos para encontrar relações métricas no triângulo retângulo. Vamos a um triângulo retângulo clássico.

Temos, traçando a altura de CDB, em relação a CB e passando por D.

Observe que CDB, CDH e HDB são semelhantes, por AA, CDB tem em comum com CDH os ângulos reto e verde, logo só resta para CDH o ângulo vermelho. CDB tem em comum com HDB os ângulos reto e vermelho, logo, só resta a HDB o verde.

Então, usando razão e proporção, é possível construir qualquer relação métrica que você queira, inclusive o Teorema de Pitágoras. Eu abordo, de maneira ilustrada, e em detalhes, este tema no texto: "

Dedução de relações métricas no triângulo retângulo, por semelhança com o Jamboard". Clique aqui para acessá-lo.

Razões e identidades trigonométricas são razões de semelhança

As razões trigonométricas, nada mais são do que razões de semelhança internas ao próprio triângulo.

Por exemplo, para os infinitos triângulos retângulos que compartilham um ângulo reto e um ângulo de 30º, e que, por AA, são semelhantes, sempre o cateto oposto a 30º terá a metade do comprimento da hipotenusa. Esta é uma razão de semelhança interna do triângulo e comum aos infinitos triângulos retângulos semelhantes (que se constituem em uma classe de equivalência) determinados pelo ângulo de 30º. Eu falo detalhadamente deste tema, no texto: "Trigonometria no triângulo retângulo: Razões trigonométricas são razões equivalentes!!!!" Clique aqui para acessá-lo.

Veja que esta classe de equivalência contém os ângulos notáveis 30º e 60º, eles são chamados assim porque o seno de 30º retorna um valor racional 0,5 e o cosseno de 60º retorna este mesmo valor, até porque estamos falando do mesmo lado, uma vez que o cateto oposto a 30º é o cateto adjacente a 60º. Eu falo detalhadamente deste tema, e do ângulo de 45º no texto: 

Trigonometria no triângulo retângulo: Razões trigonométricas são razões equivalentes!!!!", citado anteriormente.

Usando semelhança, é possível construir as razões trigonométricas que decoramos, eu falo detalhadamente deste tema, no texto: "De onde vêm o seno, o co-seno, a tangente, a co-tangente, a secante e a co-secante?", clique aqui para acessá-lo. Também neste texto eu mostro de onde vêm a identidade trigonométrica fundamental (spoiler: tem a ver com o Teorema de Pitágoras).

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP) e coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ.