Explorando visualmente a multiplicação e a divisão de frações

A multiplicação e a divisão de frações têm uma natureza diferente da adição e da subtração de frações, enquanto na adição a gente junta, na subtração a gente retira e, para isto, precisamos que os denominadores sejam iguais, porque precisamos fazer comparações diretas. Na multiplicação e na divisão, isto simplesmente deixa de importar.. E a vida segue, como se nada tivesse acontecido. 

Hoje, baseada nas excelentes discussões com a turma de Matemática, conteúdo e método II, para a qual leciono esta disciplina, vou explicitar aqui o que, de fato ocorre. Para isso, vou chamar o VAR. 

Multiplicação de frações 

Na multiplicação de frações a gente multiplica numerador por numerador e denominador por denominador, veja:

1/2 x 1/2= 

(1x1)/(2x2)=

1/4

O que está acontecendo?

Chama o VAR

Vamos recorrer ao VAR para visualizar com figuras, escrita numérica e em língua portuguesa (três suportes semióticos).

O que significa, 1/2 x 1/2?

Significa: Qual é a metade da metade?

Vamos visualizar:

Aqui, temos uma metade. Imagine que dobramos um papel ao meio, verticalmente,e pintamos a metade dele de vermelho

Aqui nós temos 1/2. Lembre-se que o denominador dá nome à fração, meios são os nomes de cada uma das divisões que temos aqui. E o numerador diz quantas temos, no caso uma.

Agora vamos, para descobrir qual é a metade da metade, dobrar essa nossa metade ao meio, horizontalmente, e pintar a metade deitada de pintinhas azuis.

Veja que agora temos quartos, porque nosso inteiro está dividido em quatro e apenas um quarto é vermelho com bolinhas azuis, ou seja é a nossa metade da metade. Lembre-se que o denominador dá nome à fração, quartos são os nomes de cada uma das peças que temos aqui. E o numerador diz quantas peças temos, no caso uma só tem pintinhas azuis e está pintada de vermelho. Nossa fração buscada é 1/4.

Vamos às frações impróprias

Já vimos que funciona para frações próprias (nas quais o numerador é menor do que o denominador), mas e se tivermos uma fração imprópria na nossa operação? Lembre-se que a fração imprópria simboliza, mais de um inteiro, o que dificulta a nossa tarefa.

Vamos pensar em 1/2 x 3/2=

A pergunta é: Qual é a metade de três meios?

Só que 3/2 precisa de mais um retângulo, lembre-se que a fração mista correspondente é 1 1/2, a gente consegue ver isso logo abaixo, esta representação figural vale para 3/2 e para 1 1/2 : 

Secos e molhados: Uma sacada genial

Vamos começar pelo começo, pela conta 

1/2 x 3/2=

1x3/2x2=

3/4

Já sabemos que o resultado final é esse, agora vamos visualizar o porquê disto ser verdade.

Chama o VAR

Agora vem a ideia incrível das estudantes. Elas separaram as frações como ingredientes secos e molhados de uma receita. Elas reescreveram 3/2 como 2/2+1/2.

Elas separaram os ingredientes molhados em 2/2 (dois meios) da receita. Elas querem saber a metade disto. Lembre-se da pergunta, qual é a metade de...

Elas separaram os ingredientes secos em 1/2 (metade) da receita. Elas querem saber a metade disto. Lembre-se da pergunta, qual é a metade de...

[Lembre sempre que 2/2+1/2=3/2, separamos só por conveniência, para fazer as nossas dobraduras.]

Caçando a metade dos Secos

Vamos dividir horizontalmente 2/2, ou seja, os ingredientes secos, ao meio e marcar com pintinhas azuis a metade deitada (reserve).

Obtivemos 2/4 de ingredientes secos, porque o inteiro está dividido em 4 e uma só das partes tem vermelho e azul. Ou seja, a metade de 2/2 é 2/4.

Caçando a metade dos Molhados

Vamos dividir horizontalmente 1/2, que são os ingredientes molhados, ao meio horizontalmente, e marcar com pintinhas azuis a metade deitada (reserve).

Obtemos 1/4, de ingredientes molhados, porque o inteiro está dividido em 4 e uma só das partes tem vermelho e azul. Ou seja, a metade de 1/2 é 1/4.

Vamos ao VAR

Agora temos 2/4 de ingredientes secos e 1/4 de ingredientes molhados e 2/4+1/4=3/4.

Ou seja, encontramos a metade de 3/2 que é 3/4, como a conta disse que faríamos.

Podemos observar isto visualmente.

Veja 3/2, para melhor comparar, vamos usar uma fração equivalente a 3/2 que é 6/4.

Veja que 3/4 ocupa metade da área de 6/4.

Visualmente observamos que realmente a nossa resposta é certa.

E quanto à divisão de frações?

A explicação visual para a divisão de frações segue a mesma lógica da multiplicação. Isso acontece porque dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso da fração.

Veja que 1/2:3/4=1/2x4/3, a partir da multiplicação a representação visual é a mesma que já abordamos anteriormente.

Para finalizar

Retomo a fala do início. A multiplicação e a divisão de frações têm uma natureza diferente da adição e da subtração de frações, enquanto na adição a gente junta, na subtração a gente retira e, para isto, precisamos que os denominadores sejam iguais, porque precisamos fazer comparações diretas. Na multiplicação e na divisão, isto simplesmente deixa de importar.

E, não importa, porque não precisamos ter o mesmo denominador para fazer nossas operações de multiplicação e divisão, porque as propriedades com as quais estamos trabalhando nelas são diferentes, e as dobraduras mostram isto muito bem.

Agradecimentos especiais

À turma 2024-2 de MATEMÁTICA CONTEÚDO E MÉTODO II (manhã) pelas inestimáveis contribuições a este ensaio.

Update

A licencianda Camila Quintão, da turma 2024-2 de Matemática Conteúdo e Método 2, da FFP/UERJ, elaborou este excelente material, em acetato, para a sobreposição de frações.

Vamos mostrar que 4/5 x 2/3= 8/15, oito é o numerador e 15 é o denominador.

Vamos ver 4/5 no acetato, atenção ao amarelo:

Vamos ver 2/3 no acetato, atenção ao rosa:

Para fazer 4/5x2/3=8/15, basta sobrepor os dois acetatos e atenção ao amarelo sobreposto ao rosa...

... ver que agora o meu inteiro está dividido em 15 partes e, destas 15 partes, 8 estão pintadas em rosa e amarelo. Agora vem a revelação. O que está pintado em rosa e amarelo (8 pedaços) é meu numerador, e a quantidade de pedaços é meu denominador (15 pedaços). E chegamos a 4/5 x 2/3= 8/15

Vamos a mais uma maneira de pintar o acetato. A Camila pensou em deixar mais claro ainda o 2/3, para isto ela pintou completamente duas partes de 3, assim:

2/3 bem marcados, atenção ao rosa:

Agora, vamos manter os 4/5 que usamos antes, atenção ao amarelo.

Agora, para encontrarmos 4/5 x 2/3= 8/15, vamos sobrepor os dois acetatos, e atenção ao amarelo sobreposto ao rosa....

Com o 2/3 mais forte, fica bem claro que em 8 quadradinhos tem rosa e amarelo. Já a divisão do inteiro em 15 quadradinhos é só contar todos os quadradinhos como antes, a resposta é 8/15. 

E chegamos a 4/5 x 2/3= 8/15.

Agradecimentos especiais 2

À licencianda, Camila Quintão, por suas brilhantes contribuições em toda a disciplina e pela elaboração deste material incrível que vemos neste post. Querida Camila, muito obrigada!

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa e iniciação científica, fomentado pela FAPERJ e pela UERJ, Matemática e Física na mala. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP), coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ e diretora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Regional Rio de Janeiro), eleita para o triênio 2025-2027.