Teorema da bissetriz interna, uma demonstração descontraída, passo a passo.

 Hoje vamos provar o teorema da bissetriz interna, vamos necessitar girar a imagem pra gente se organizar melhor. Em tempo, para facilitar a digitação, os segmentos são apresentados como AB e os ângulos como <ABC, também é considerada conhecida a construção de uma paralela.

Começando a nossa demonstração

Se P é o pé da bissetriz interna relativa ao lado BC, prove que:

Olhando a nossa Tese BP/PC=BA/AC e o nosso triângulo a gente já vê que os triângulos BAP e PAC são semelhantes, por causa da razão e proporção gritando na nossa cara na Tese. A gente sabe que eles são semelhantes por causa dela, mas não podemos partir daí porque não se parte da Tese (a Tese é o final do caminho). 

Nossa Hipótese

Pensei no Teorema de Tales (Se duas retas transversais são cortadas por um conjunto de retas paralelas, os segmentos determinados por essas paralelas em uma transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes determinados na outra transversal), que usa razão e proporção, como um caminho me auxiliar a lograr meu intento. Para melhorar a visualização girei 90 graus para a esquerda o desenho e construí uma reta auxiliar r sobre o lado CA.

Vamos agora construir uma paralela s a AP, isto nos fornece B'. Estamos fazendo isso de caso pensado, porque AB' será congruente a AB (sim, sempre é necessário ter aquela visão além do alcance dos Thundercats, só quem foi criança nos anos 80 viu esse desenho rsrs). A gente, garantindo essa congruência já acaba a nossa prova, porque chegaremos no teorema de Tales como queremos.  Vamos fazer isto então.

 

Também tiramos daí que  <PAB=<BAP porque são alternos internos. 

E usando o ângulo oposto pelo vértice a <CAP, que é igual a ele, temos que os ângulos <ABB' e <AB'B são iguais e o triângulo ABB' é isósceles e os segmentos AB e AB' são iguais. 

Acrescentei uma terceira reta w, paralela a s e passando por C, apenas para deixar mais claro que o Teorema de Tales vai nos levar ao fim da nossa demonstração. [Por construção, s é paralela a AP, passando por B, e w é uma paralela a s passando por C.]

Como queriamos demonstrar (CQD)

Usando o Teorema de Tales, que aqui funcinou como lema (lema é um teorema auxiliar), temos:

BP/PC=BA'/AC, e como BA'=BA, chegamos à nossa tese.

BP/PC=BA'/AC

CQD.

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa e iniciação científica, fomentado pela FAPERJ e pela UERJ, Matemática e Física na mala. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP), coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ e diretora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Regional Rio de Janeiro), eleita para o triênio 2025-2027.