Hoje vamos fazer um verdadeiro exposed da lei dos senos, vamos revirar a sua demonstração do avesso, para isto vamos precisar de um triângulo acutângulo e de um obtusângulo, inscritos em suas respectivas circunferências.
Em tempo, usaremos as notações: AB para segmentos, <A
para ângulos e triângulo ABC por limitações do editor de texto do blog.
E, também, vamos usar como lema (um lema é um teorema
auxiliar), o Teorema do Ângulo Inscrito (O ângulo inscrito em uma
circunferência é igual à metade do ângulo central que subtende o mesmo arco.).
Triângulo EFG (Acutângulo)
Nossa tese é g/senG=f/senF=e/senE=Diâmetro do círculo
circunscrito.
No triângulo EFG vamos começar provando que
f/senF=Diâmetro da circunferência
Diâmetro da circunferência=2R
Veja que o diâmetro foi mencionado, vamos traçá-lo a partir
de E.
Agora veja, que se eu olhar para a direita, se eu traço o
segmento KG, o meu ângulo K será inscrito do arco EG e o ângulo F também é
inscrito deste mesmo arco.
Como o triângulo EGK é retângulo em G, porque G é ângulo
inscrito de 180º (arco KE), o seno de K=f/2R e como ângulo K=ângulo F sen
<F=f/2R
Olhando para a esquerda e tendo o mesmo raciocínio
encontramos, a partir da construção do segmento KF.
Como o triângulo EFK é retângulo em F, porque F é ângulo
inscrito de 180º (arco EK), o seno de K=g/2R e como ânguloK= ângulo G, sen
G=g/2R. Poderiamos terminar aqui, dizendo que as demais demonstrações são
análogas. Mas não faremos isso. Vamos, por motivos didáticos, continuar.
Para encontrar e/SenE=2R, vamos traçar o diâmetro a partir
de F, para fazermos uma demonstração análoga às anteriores.
Veja que encontramos o triângulo FGL, retângulo em G, porque
o ângulo G é inscrito do arco FL (que mede 180º). E, também,ângulo L=ângulo E,
mas o sen L=e/2R, e como o ângulo E=ânguloL, temos, como queriamos demonstrar,
sen E=e/2R.
CQD.
Triângulo EFG (Obtusângulo)
Nossa tese é j/senJ=i/senI=h/senH=Diâmetro do círculo
circunscrito.
Para j/senJ=2R e para i/senI=2R o caminho é muito parecido
com o que trilhamos para o triângulo acutângulo.
Vamos fazer o segmento MJ e vamos encontrar que os ângulos M
e I são inscritos do arco HJ e são iguais.
O triângulo HJM é retângulo porque J é ângulo inscrito do
ARCO HIM (180º). Logo, sen(M) = sen(I)=i/2R.
Agora, vamos traçar o segmento MI e encontrar que os ângulos
M e J são inscritos do arco HI e são iguais.
O Triângulo HIM é retângulo em I, pois o ângulo I é inscrito
do arco HJM (180º). Logo, sen(M) = sen(J) = j/2R.
Agora, vamos ao caso do ângulo H, que é obtuso. Esse vai
exigir um pouco mais de imaginação!
Para começar, vamos traçar o segmento JN, diâmetro da
circunferência. Em seguida, traçamos o segmento IN. Veja que o triângulo IJN é
retângulo em I, pois o ângulo I é inscrito do arco INJ.
Agora vem “o pulo do gato”! O ângulo N e o ângulo H são
suplementares! Vamos provar isso para podermos dar continuidade.
Para fins de notação, vamos representar as medidas dos arcos
INJ e IHJ por med(INJ) e med(IHJ), respectivamente. Também vamos representar as
medidas dos ângulos N e H por med(N) e med(H).
Note que:
1.
med(N) = med(IHJ)/2
2.
med(H) = med(INJ)/2
Logo:
med(N) + med(H) = med(IHJ)/2 + med(INJ)/2
med(N) + med(H) = (med(IHJ) + med(INJ))/2
med(N) + med(H) = 360º/2 = 180º
Como N e H são ângulos suplementares, temos que sen(H) =
sen(N). Vamos demonstrar isso logo abaixo.
Seja A um ângulo e 180º - A seu suplemento. Vamos usar o
seno da soma de dois arcos para mostrar que sen(180º - A) = sen(A).
Temos que:
sen(180º - A) = sen(180º).cos(A) – sen(A).cos(180º)
Como sen(180º) = 0 e cos(180º) = - 1, a igualdade acima nos
dá:
sen(180º - A) = 0.cos(A) – sen(A).(-1) = sen(A).
Logo:
sen(H) = sen(N) = h/2R, como queríamos demonstrar.
CQD.