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Ao me deparar com um material de madeira explorando o teorema de Pitágoras com hexágonos, obra do professor Fernando Pereira de Souza (UFMs Campus de Três Lagoas) e de seus orientandos, com os quais travei conhecimento no último encontro nacional do PROFMAT, não pude deixar de pensar na demonstração formal do porquê, se ao invés de quadrados sobre os lados, tivermos hexágonos, a fórmula se mantém.
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| Quebra cabeças do professor Fernando e equipe |
Isto me levou à seguinte prova e a uma ideia muito interessante no final. Lhe convido, leitor(a) a explorá-la comigo. Vamos?
Tese
A soma das áreas dos hexágonos construídos sobre os catetos é igual à área do hexágono construído sobre a hipotenusa, isto é
Área(H_b) + Área(H_c) = Área(H_a)
Hipótese
Seja ABC um triângulo retângulo em A, com catetos AB e AC de comprimentos c e b, respectivamente, e hipotenusa BC de comprimento a. Pelo Teorema de Pitágoras clássico, vale a igualdade
b² + c² = a²
Sobre cada um dos lados desse triângulo são construídos hexágonos regulares, de modo que o lado de cada hexágono coincide com o lado do triângulo sobre o qual ele é construído. Denotamos esses hexágonos por H_b (sobre AC), H_c (sobre AB) e H_a (sobre BC).
Demonstração
Passo 1
A área de um hexágono regular de lado s é dada pela fórmula
A(s) = (3√3 / 2) s²
Atenção!!! Chama o VAR!
Sabemos isto porque conhecemos a fórmula da área do triângulo equilátero e o fato de que um hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros congruentes de mesmo lado do hexágono em foco.
Retomando a nossa conversa
Essa expressão mostra que a área de um hexágono regular é diretamente proporcional ao quadrado do seu lado, com constante de proporcionalidade k = 3√3 / 2.
Vamos ao VAR novamente...
Retomando...
Passo 2
Aplicando essa fórmula aos hexágonos construídos sobre os lados do triângulo, obtemos
Área(H_b) = (3√3 / 2) b²
Área(H_c) = (3√3 / 2) c²
Área(H_a) = (3√3 / 2) a²
Passo 3
Somando as áreas dos hexágonos sobre os catetos, temos
Área(H_b) + Área(H_c) = (3√3 / 2) b² + (3√3 / 2) c² = (3√3 / 2)(b² + c²)
Passo 4
Pela hipótese, sabemos que b² + c² = a².
Atenção! Chama o VAR!
Podemos fazer isso justamente porque ABC é retângulo, e é esse o pulo do gato desta demonstração!
Retomando...
Substituindo essa igualdade na expressão anterior, obtemos:
Área(H_b) + Área(H_c) = (3√3 / 2) a² = Área(H_a)
Passo 5
Portanto, a soma das áreas dos hexágonos construídos sobre os catetos é igual à área do hexágono construído sobre a hipotenusa, exatamente como afirma a tese.
Conclusão
A tese foi verificada com base na hipótese e nas propriedades geométricas do hexágono regular. Assim, a generalização do Teorema de Pitágoras para hexágonos regulares é válida.
CQD
Observação final
Esse resultado não é exclusivo dos hexágonos regulares. Ele se aplica a qualquer figura plana semelhante construída sobre os lados de um triângulo retângulo, desde que a área da figura seja proporcional ao quadrado do lado sobre o qual ela é construída. O hexágono regular é apenas um exemplo particular dessa propriedade mais geral.
Agradecimentos
Ao professor Fernando Pereira de Souza (UFMs Campus de Três Lagoas) e a seus orientandos, os quais me apresentaram a dedução visual deste teorema por meio de um quebra cabeças inspirador e intrigante.
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva possui doutorado e pós doutorado pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, é professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa e iniciação científica, fomentado pela FAPERJ e pela UERJ, Matemática e Física na mala. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP), coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ e diretora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Regional Rio de Janeiro), eleita para o triênio 2025-2027. Atua também como procientista UERJ.