Nesta postagem eu gostaria de colocar em perspectiva uma representação muito utilizada quando falamos da enumerabilidade dos racionais, grosso modo, dizer que os racionais são enumeráveis, significa que podemos parear cada elemento deste conjunto com cada elemento do conjunto dos naturais, um a um, para usar um termo matemático e ganhar precisão, tal pareamento deve ser biunívoco.
Sabemos que existe uma bijeção entre N e Z que é exatamente 0->0, os pares nos positivos e os ímpares nos negativos, consequentemente, se criamos uma bijeção entre os inteiros positivos e os racionais positivos, (que é o primeiro diagrama), fica sobre entendido que o mesmo se faz com os negativos, assim temos uma bijeção entre Z e Q, então usando a composta das duas bijeções obtemos uma bijeção entre N e Q que é o último diagrama
Pensemos em uma função de N em Q, esta função deve ser biunívoca, ou seja, cada elemento de N corresponde a um único elemento de Q e nenhum elemento fica sem par, o que garante que domínio e imagem têm a mesma quantidade de elementos.
Em matematiquês:
O domínio da função (com ).
Explorando a tabela de Cantor
A tabela de Cantor é um recurso poderoso, quando buscamos compreender a enumerabilidade dos racionais, e ela permite um exercício intelectual muito interessante ao parearmos cada elemento da tabela a um número natural, em uma bijeção. Assim, ao percorrer a grade em zigue-zague, por exemplo, seguindo as diagonais onde numerador + denominador é constante — listamos todos os racionais positivos: 1 ↔ 1/1, 2 ↔ 1/2, 3 ↔ 2/1, 4 ↔ 1/3, 5 ↔ 2/2 (descartada), 6 ↔ 3/1, etc.. Mas algumas dúvidas gritam aqui na minha mente e talvez gritem na sua também.
Cadê?
Cadê o zero nos racionais , em que momento ele vai aparecer?
Cadê os racionais negativos?
Pensei em estender a tabela de Cantor, usando o plano cartesiano, pares ordenados (x,y), x pertencendo à N* e y pertencendo a Z, e frações do tipo y/x, x diferente de zero. para visualizar estas respostas. Apenas frações irredutíveis serão pareadas, ao lado das não irredutíveis, deixei a palavra descarte.
Em matematiquês:
O conjunto de pares usados para representar os racionais é , restrito às frações irredutíveis.
Achei!
Vou considerar aqui os Naturais iniciando do zero e vou parear da seguinte forma, pareando os naturais pares com os racionais não negativos e os naturais ímpares com os racionais negativos:
0 com 0/1, par ordenado (1,0);
2 com 1/1, par ordenado (1,1);
4 com 2/1, par ordenado (1,2);
...
1 com -1/1, par ordenado (1,-1);
3 com -2/1, par ordenado (1, -2);
5 com -1/2, par ordenado (2, -1)
...