Durante as férias, me deparei com um post no Threads trazia o seguinte diálogo, "A soma de 3 números ímpares nunca será um número par" e a resposta que me estarreceu "E 3+3=6, você está errada".
Imediatamente fiz o que qualquer professor de Matemática em férias faria, provei o teorema, claro. Segue abaixo o meu exercício de férias.
Teorema: A soma de 3 números ímpares sempre é ímpar.
Prova:
Dados os números ímpares 2a+1,2b+1, 2c+1, a,b,c pertencente aos inteiros, somando-os, temos: 2(a+b+c)+3,
E reescrevendo-a, temos: 2(a+b+c)+(2+1),
Colocando 2 em evidência, temos [2(a+b+c+1)]+1, observe que a expressão entre colchetes sempre será par, e, podemos substituir os [2(a+b+c+1)] por 2k, que é a representação canônica do número par, k pertencente aos inteiros, ficando com 2k+1, que é a representação canônica de um número impar, isto prova que a soma de três números ímpares é sempre um número ímpar. CQD.
E dá pra gente começar a imaginar um corolário, ou seja, a soma de uma quantidade ímpar e finita de números ímpares, sempre será um número ímpar e pensar em outro teorema: a soma de qualquer quantidade finita de números pares é sempre par e assim por diante, mas esta é uma conversa pra um outro dia...
Edit.
Eu não aguentei e provei o Teorema que propus:
Teorema: A soma de qualquer quantidade finita de números pares é sempre par.
Prova:
C.Q.D.
Sejam 2a1,2a2,…,2an números pares, com a1,a2,…,an e n≥1.
Sua soma é:
2a1+2a2+⋯+2an=2(a1+a2+⋯+an)
Como a soma a1+⋯+an é um número inteiro, chamemos esse valor de k, k pertencente aos inteiros, Então a soma total é 2k, que é, por definição, um número par.
2a1+2a2+⋯+2an=2(a1+a2+⋯+an)
Como a soma a1+⋯+an é um número inteiro, chamemos esse valor de k, k pertencente aos inteiros, Então a soma total é 2k, que é, por definição, um número par.
C.Q.D.
Agora volto para as férias.
Edit 2
Provando o corolário que propus.
Corolário: A soma de uma quantidade finita e ímpar de números ímpares é também ímpar.
Prova:
Sejam 2a1+1,2a2+1,…,2an+1 números ímpares, com a1,a2,…,an e n≥1.
Sua soma é:
2a1+1+2a2+1+⋯+2an+1=2(a1+a2+⋯+an)+1.n
2a1+1+2a2+1+⋯+2an+1=2(a1+a2+⋯+an)+1.n
Como n é um número ímpar, podemos reescrevê-lo como n=2k+1, k pertencente aos inteiros.
Podemos reescrever
2a1+1+2a2+1+⋯+2an+1=2(a1+a2+⋯+an)+(2k+1)
Colocando 2 em evidência, temos:
2(a1+a2+⋯+an+k) +1
Como a soma a1+⋯+an+k é um número inteiro, chamemos esse valor de u, u pertencente aos inteiros. Então a soma total é 2u+1, que é, por definição, um número ímpar.
Como a soma a1+⋯+an+k é um número inteiro, chamemos esse valor de u, u pertencente aos inteiros. Então a soma total é 2u+1, que é, por definição, um número ímpar.
CQD
Agora eu realmente volto para as férias, mas deixo para você leitor(a) a proposta de que demonstre que a soma de uma quantidade finita e par de números ímpares é sempre par, a demonstração para este teorema é análoga às que fiz aqui.