Muitos acreditam que uma demonstração precisa de páginas, lemas, definições e corolários. Mas a matemática também admite provas curtíssimas, definitivas e irrefutáveis. O contraexemplo é uma delas.
Um contraexemplo demonstra que uma afirmação universal é falsa — e isso é uma demonstração plena. Não é só um exemplo. É a refutação lógica completa de uma proposição do tipo para todo. Veja:
Todo número primo é ímpar
Afirmação falsa: Todo número primo é ímpar.
Demonstração por contraexemplo: O número 2 é primo e par.
Logo, a afirmação é falsa.
CQD.
Zero é ímpar
Afirmação falsa: Zero é ímpar.
Demonstração por contraexemplo: 0 = 2·0, logo 0 é par.
Portanto, a afirmação é falsa.
CQD.
Em algum anel das matrizes reais, não existem divisores de zero não nulos
Afirmação falsa: Em algum anel das matrizes reais, não existem divisores de zero não nulos.
Demonstração por contraexemplo:
Sejam
A e B são não nulas e multiplicadas resultam em AB que é uma matriz nula, logo A e B são divisores de zero e, portanto, existem divisores de zero não nulos. A afirmação é falsa.
CQD.
Encerrando a discussão
Essas não são quase provas. São provas completas.
A lógica é clara: uma afirmação da forma para todo x, P(x) é falsa se e somente se existir um x tal que não P(x).
Exibir esse x é demonstrar a falsidade.
Demonstrações não precisam ser longas.
Precisam ser decisivas.
E o contraexemplo, muitas vezes, é a forma mais econômica, elegante e poderosa de dizer: Isso não é verdade.
CQD.