Três formas clássicas e uma variação elegante de demonstrar que a soma de dois números ímpares é par.
Neste post vou abordar três formas clássicas e uma variação elegante de demonstrar que a soma de dois números ímpares é par. É importante fazer diferentes tipos de prova para compreender as diferentes maneiras pelas quais construímos a Matemática. Vamos à elas.
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Prova direta
Teorema: "Sejam x e y números inteiros. Sabemos que x e y são ímpares quando podem ser escritos como x = 2a + 1 e y = 2b + 1, com a e b inteiros. Nesse caso, a soma x + y é sempre par.
Prova:
Escreva x = 2a + 1 e y = 2b + 1, onde a e b são inteiros. Então
x + y = 2a + 1 + 2b + 1 = 2(a + b + 1),
que é um múltiplo de 2. Logo, x + y é par.
CQD.
Prova por contrapositiva
Teorema: "Sejam x e y números inteiros. Sabemos que x e y são ímpares quando podem ser escritos como x = 2a + 1 e y = 2b + 1, com a e b inteiros. Nesse caso, a soma x + y é sempre par.
Prova:
A contrapositiva da frase “se x e y são ímpares, então x + y é par” é:
se x + y não é par (ou seja, é ímpar), então pelo menos um entre x ou y não é ímpar (ou seja, é par).
Suponha que x + y seja ímpar. Se ambos x e y fossem ímpares, sua soma seria par, como mostrado na prova direta — o que contradiz a suposição. Portanto, ao menos um deles é par, o que prova a contrapositiva e, com ela, a afirmação original.
CQD.
Prova por absurdo
Teorema: "Sejam x e y números inteiros. Sabemos que x e y são ímpares quando podem ser escritos como x = 2a + 1 e y = 2b + 1, com a e b inteiros. Nesse caso, a soma x + y é sempre par.
Prova:
Suponha que x e y sejam ímpares, mas que x + y seja ímpar. Então existem inteiros a, b e c tais que
x = 2a + 1, y = 2b + 1 e x + y = 2c + 1.
Mas então
2a + 1 + 2b + 1 = 2c + 1, ou seja, 2(a + b + 1) = 2c + 1.
O lado esquerdo é par; o direito é ímpar. Isso significaria que um mesmo número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo, o que é impossível. A suposição inicial é falsa. Logo, a soma é par.
CQD.
Dupla implicação estrutural
Não é verdade que x + y é par se e somente se x e y são ímpares, pois dois números pares também somam um par.
Mas vale a seguinte equivalência precisa:
x + y é ímpar se e somente se exatamente um entre x e y é ímpar.
Adendo: paridade mista é o nome dado à situação em que, entre dois inteiros, um é par e o outro é ímpar, ou seja, exatamente um deles é ímpar.
A prova dessa bicondicional se divide em duas partes:
Ida: Se x + y é ímpar, então exatamente um entre x e y é ímpar.
(Ida = da soma ímpar → à paridade mista)
Prova:
Suponha que x + y seja ímpar. As únicas possibilidades para a paridade de x e y são: ambos pares, ambos ímpares ou um de cada.
Se ambos fossem pares, a soma seria par. A esta afirmação, vamos chamar de Lema (Lema é um teorema auxiliar).
Lema: A soma de dois números pares é par.
Prova: Tome f e g pares e inteiros, f=2z e g=2w, somando-os, temos: 2z+2w, colocando 2 em evidência temos 2(z+w), z+w é um inteiro, que chamaremos u, reescrevendo, temos 2u que é a forma canônica de um número par. CQD.
Se ambos fossem ímpares, a soma também seria par (como provado anteriormente).
Como a soma é ímpar, nenhuma dessas duas situações ocorre. Logo, exatamente um é ímpar e o outro é par, ou seja, há paridade mista.
Volta: Se exatamente um entre x e y é ímpar, então x + y é ímpar.
(Volta = da paridade mista → à soma ímpar)
Prova:
Suponha, sem perda de generalidade, que x = 2a (par) e y = 2b + 1 (ímpar), com a, b inteiros.
Então:
x + y = 2a + (2b + 1) = 2(a + b) + 1,
que é ímpar.
Como ambas as implicações foram demonstradas, a equivalência está provada.
Dela segue imediatamente que, se ambos são ímpares, a soma não pode ser ímpar — logo, é par.
CQD.