O teorema que amarra a viagem - texto aberto inspirado no projeto um livro aberto

A integral calcula a área sob a curva num intervalo fechado [a,b]

Agora é momento de discutirmos o porquê da integral calcular a área sob a curva num intervalo fechado [a,b]. O intervalo precisa ser fechado justamente para que tratemos de uma área delimitada (literalmente). Vamos à definição de integral:

Para discutir como ela o faz, vamos usar as somas de Riemann e um aplicativo com esta temática, aplicativo este desenvolvido pelo Instituto Federal da Paraíba, disponível em: https://www.geogebra.org/m/uatN4wYP.

Vamos começar com f(x)=x², no intervalo [0,2]:

Veja que a figura sob a curva não é uma figura plana para a qual temos uma fórmula, Riemann pensou então, para resolver este problema, em utilizar retângulos, cuja fórmula é conhecida, para se aproximar desta área toda torta. A ideia das somas de Riemann é a de "clonar"a área sob a curva utilizando retângulos. Ele o faz por fora e por dentro. Mas quantos retângulos? Ora, quantos quisermos, sendo que, quanto mais retângulos usemos, melhor ficará a nossa "clonagem".

Clonando com retângulos 

Utilizando dois retângulos, vemos que a soma das áreas dos retângulos por fora da curva, que ele chama de soma superior, que tem área a1 = 5. Encontramos este valor somando as áreas dos retângulos: o primeiro deles tem área 1 e o segundo deles tem área 4.

E retângulos por dentro da curva, que Riemann nomeia como soma inferior, em nosso exemplo a soma inferior tem área a2 = 1, (temos um único retângulo (quadrado é um tipo de retângulo) de área 1).

 

Vamos ver como a1 e a2 se relacionam. 

Vamos à definição das somas de Riemann, para que a gente parta em condições ideais nesta discussão.

Quando o número de subintervalos cresce indefinidamente e o comprimento máximo deles tende a zero, o limite dessas somas (se existir) é a integral de Riemann de f no intervalo [a, b].

Sempre tendo a área real em mente ar = 2, 67, vamos comparar a1 e a2, já sabendo que, quando usarmos infinitos retângulos,a1 = a2 = ar.

A área real é 2,67, a soma superior foi 4 e a inferior foi 1. Está muito grosseira a nossa clonagem, veja que a1 - a2 = 3. Vamos aumentar, usando o mesmo aplicativo, a quantidade de retângulos para gente ver o que acontece com os valores de ar e de a2, quando usamos 10 retângulos.

Vamos tentar fazer a nossa clonagem com 10 retângulos, veja na Figura se fomos bem sucedidos (spoiler: não fomos, a clonagem só é perfeita no infinito). Vamos à Figura abaixo para isto.

Perfeito não ficou, mas melhorou bastante, vejamos os valores de a1, a2 e ar, a1 = 3, 08, a2 = 2, 28 e ar = 2, 67. a1 - a2 = 0, 8 reflete esta melhora.

Vamos agora fazer o mesmo para cinquenta retângulos, vejamos como a nossa clonagem fica na Figura abaixo:

Aqui temos a1 = 2, 75 e a2 = 2, 59, a diferença entre eles caiu, como esperado, porque a qualidade da nossa "clonagem" melhorou muito, a1 - a2 = 0, 16, a diferença entre a1 e a2 diminuiu consideravelmente. Vamos acompanhar a evolução das diferenças.

• Com 2 retângulos a1 - a2 = 3

• Com 10 retângulos a1 - a2 = 0, 8

• Com 50 retângulos a1 - a2 = 0, 16

Mas e com 200 retângulos? 

Com 200 retângulos alcançamos uma clonagem belíssima, veja abaixo:

A clonagem parece perfeita e a distância entre a1 e a2 diminuiu mais ainda o que nos faz intuir que para um número cada vez maior de retângulos ela vai tendendo a se igualar o que nos faz sonhar com um número infinito de retângulos onde área da soma superior=área da soma inferior=área real, ou seja, que uma clonagem perfeita será realizada no infinito.

Aqui temos a1 = 2, 69 e a2 = 2, 65, a diferença entre eles despencou, como esperado, porque a qualidade da nossa "clonagem"melhorou muito, veja que a1 - a2 = 0, 04. Vamos comparar, nossas clonagens até então.

• Com 2 retângulos a1 - a2 = 3

• Com 10 retângulos a1 - a2 = 0, 8

• Com 50 retângulos a1 - a2 = 0, 16

• Com 200 retângulos a1 - a2 = 0, 04

Quando o número de retângulos tende ao infinito a nossa clonagem é perfeita, e, soma superior e soma inferior convergem para o mesmo valor. Basta, então, calcular esse limite. E é exatamente isso que a integral definida faz. Vamos a ela:

A integral dá a área sob a curva e a derivada diz a que taxa de variação instantânea ela cresce/decresce

Se a derivada nos dá a taxa de variação instantânea, a integral nos dá a área sob a curva em um intervalo [a, b]. As duas se relacionam pelo TFC (Teorema Fundamental do Cálculo) e, mais à frente, vamos compreender como. Mas antes precisamos estabelecer alguns alicerces para isto.

Vamos começar com f : R → R, f(x) = x² e vamos calcular a área sob esta curva no intervalo [a, b] = [0, 2], o GeoGebra irá nos auxiliar nesta empreitada.

Vamos observar também o valor de f(b), para b = 2. f(b) = 4. Esta é uma informação importante, porque ela diz qual é o valor exato de f(x) no instante em que x = 2. Vamos chamar f(b) de altura da função quando x = b.

Usando nossos conhecimentos de Cálculo, vamos integrar f(x) = x², obtendo

F(x) = x³/3 ,

e vamos observar o que acontece na tangente a F(x) quando x = 2.

Ora, a tangente a F(x) = x³/3 quando x = 2, tem coeficiente angular 4 (guarde esta informação).

A derivada, como vimos anteriormente, trata da taxa de variação instantânea. 

Vamos explorar outro valor de x. Vejamos o que acontece quando x = 0, 5. Quando x = 0, 5, F′(x) = 0, 25, ou seja, o coeficiente angular da tangente a F(x), quando x = 0, 5, que é F′ = x2 = 0, 52 = 0, 25, veja que a taxa de variação instantânea é menor, e isto indica um crescimento da área sob a curva mais lento neste instante.

Isto é visível na Figura abaixo. Geometricamente é possível verificar que a inclinação da tangente a F(x) no ponto x = 0, 5 tem uma inclinação menor do que a tangente a esta mesma função no quando x =b= 2

Quando x=0,1 a área sob a curva terá um crescimento lentíssimo e, observando a integral F(x) e a tangente F ′ (x) no par ordenado T = (x, F(x)), vamos ver que o coeficiente angular desta tangente será exatamente 0,01, e que a área está crescendo mais lentamente do que no exemplo anterior. Isto é evidenciado pela inclinação menos agressiva. Antes de fazer uma única conta, já imaginamos que a taxa de crescimento instantânea de F(x), quando x = 0,1, será ainda menor e a tangente a F(x), quando x = 0,1, terá a sua inclinação quase zerada. Ora, se x = 0,1, então F ′ (x) = x² e F ′ (0,1) = 0,01.

Veja que a inclinação é tão pequena que a tangente a F(x), quando x = 0,1, quase se confunde com o eixo x. Isto nos permite pensar no que aconteceria para x = 0. Aí F ′ (x) = 0² = 0 e a taxa instantânea de crescimento da área só pode ser zero, porque a inclinação da tangente é igual a zero.

O Teorema Fundamental do Cálculo é inevitável 

Mas e o Teorema Fundamental do Cálculo? Ele coroa a nossa jornada, uma vez que ele relaciona derivada e integral. Grosso modo, podemos resumi-lo em: A integral de f(x) é F(x) e a derivada de F(x) =f(x) . Mas esta é uma simplificação grosseira e problemática, porque deixa conceitos importantes de fora. 

Podemos, para evitar estes percalços, afirmar que: O TFC é a garantia de que derivar e integrar são processos inversos. Ele nos diz que a taxa de variação da área acumulada sob f(x) é exatamente o valor de F(x) em cada ponto. Na prática, isso significa que não precisamos somar retângulos infinitos: basta calcular quanto a primitiva F(x) [isto é, a função cuja derivada é exatamente f(x)] variou entre a e b.

É justamente pra eliminar qualquer C das infinitas primitivas. Teremos, sempre, ao fim e ao cabo, (F(b) + C) − (F(a) + C), não importa quem seja o C, ele será eliminado pelo TFC. E se ele não morresse, não seria possível calcular a área exata sob a curva. Terminamos a nossa epopeia com a morte de C no TFC, mas o que é uma epopeia sem um toque de drama? Pegue seu lenço e pode se emocionar, chegamos ao fim da nossa viagem. 

Fechamos esta série de postagens com o Epitáfio de C.