Vamos partir do que conhecemos para compreender, conceitualmente, a integral. Se a derivada nos dá a taxa de variação instantânea, a integral nos dá a área sob a curva em um intervalo [a,b]. As duas se relacionam pelo TFC (Teorema Fundamental do Cálculo) e, mais à frente, vamos compreender como. Mas antes precisamos estabelecer alguns alicerces para isto.
Vamos começar com a função de R em R, f(x)=x² e vamos calcular a área sob esta curva no intervalo I=[a,b]=[0,2], o GeoGebra irá nos auxiliar nesta empreitada, fixaremos o valor de a=0 para toda a nossa discussão.
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Vamos observar também o valor de f(b), para b=2. f(b)=4. Esta é uma informação importante, porque ela diz qual é o valor exato de f(x) no instante em que x=2. Vamos chamar f(b) de altura da função quando x=b.
Usando nossos conhecimentos de Cálculo, vamos integrar f(x)=x², obtendo F(x)=x³/3, e vamos observar o que acontece na tangente a F(x) quando x=2
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| https://www.geogebra.org/calculator/zabypuaf O coeficiente angular da reta tangente é exatamente o valor de f(x), quando x=2 e ele vai ditar a velocidade do crescimento da área sob a curva. Ora, se F(x)=x³/3 é a integral de f (x)=x², o contrário também vale, isto é f(x)=x² é a derivada de F(x)=x³/3. A derivada, como vimos anteriormente nesta série de postagens, trata da taxa de variação instantânea. Ora, neste caso a derivada está nos dizendo que para x=b=2 a taxa de variação instantânea é 4. Pense na seguinte metáfora, se em f(x) estamos monitorando uma velocidade, em km/h, quando f(2) essa velocidade é 4 km/h. Na integral estamos monitorando a que velocidade esta área sob a curva cresce e, quando, x=b=2, temos o coeficiente de inclinação da reta tangente a F(x), no ponto T= (b, F(b)) e esse coeficiente de inclinação, surpreendendo um total de zero pessoas, é m=4. Isto quer dizer que a velocidade de crescimento da área é de 4km/h, no instante em que b=2. Vamos a outro exemplo, no qual o crescimento da área sob a curva é mais lento, vamos ver o que acontece quando b=0,5.  quando b=0,5, f(b)=0,25, ainda usando o exemplo da velocidade em km/h, no instante em que b=0,5 a minha função está monitorando 0,25 km/h, o que é mais lento do que a velocidade que vimos anteriormente. Ora, quando b=0,5 a área sob a curva vai crescer mais lentamente e, observando a integral F(x) e a tangente g à F(x) no ponto T=(b, F(b))=(0,5;0,25), vamos observar que o coeficiente angular de g será exatamente 0,25 km/h, a área está crescendo mais lentamente do que no exemplo anterior e isto é evidenciado pela inclinação menos agressiva, como vemos adiante.  Vamos buscar um crescimento ainda mais lento, vamos estabelecer b=0,1 e vamos ver o que acontece com f(b).  O nosso "velocímetro", a nossa função f(x)=x², está marcando a velocidade instantânea 0,01 km/h quando b=0,1, ou seja f(b)=0,01. Considerando que a nossa área sob a curva começou a crescer em a=0, e b=0,1 está extremamente próximo de a, a nossa área sob a curva é tão pequena que o GeoGebra até a arredondou pra 0. Vou aumentar as casas decimais para vermos o que aconteceu com a área. Com 4 casas decimais no GeoGebra, encontramos a área sob a curva, como segue adiante:  Sabemos que a área está crescendo a 0,01 km/h, vamos olhar isto lá na integral de f(x), F(x)=x³/3, nos interessa o coeficiente de inclinação da tangente a F(x) no ponto T=(b, F(b)), que é m=0,01. Veja que a tangente considerada está quase paralela ao eixo X, o que mostra que a área sob a curva está crescendo leeeentamente, no nosso exemplo a 0,01 km/h.  Por que a integral calcula a área sob a curva? Riemann responde.Agora é momento de discutirmos o porquê da integral calcular a área sob a curva, para isto, vamos usar as somas de Riemann e um aplicativo do Instituto Federal da Paraíba. Vamos começar com f(x)=x², no intervalo [0,2]:  https://www.geogebra.org/m/uatN4wYP Veja que a figura sob a curva não é uma figura plana para a qual temos uma fórmula, Riemann pensou então, para resolver este problema, em utilizar retângulos para se aproximar desta área toda torta. Um retângulo por fora da curva, que ele chama de soma superior, que tem área a1=5. Encontramos este valor somando as áreas dos retângulos o primeiro deles tem área 1 e o segundo deles tem área 4, o somatório delas dá a1=5 e por dentro da curva, que Riemann nomeia como soma inferior, que tem área a2=1, trata-se de um único retângulo (quadrado é um tipo de retângulo) de área 1.  https://www.geogebra.org/m/uatN4wYP A área a3=(a1+a2)/2 é uma média destas duas e se aproxima da área que queremos calcular. a3=(5+1)/2=3, já a área real ar é 2,67, como segue adiante.  https://www.geogebra.org/m/uatN4wYP Nada mau, 3 não está tão distante de 2,67. Vamos aumentar a quantidade de retângulos pra gente ver o que acontece com os valores de ar e de a3 quando usamos 10 retângulos.  https://www.geogebra.org/m/uatN4wYP a1=3,08, a2=2,28 e a3= (3,08+2,28)/2=2,68, e ar, como sabemos, é 2,67. Calculamos a1 e a2 somando as áreas dos retângulos, como fizemos anteriormente.Uau, com 10 retângulos chegamos bem perto do valor real. Veja também que estamos visualmente também mais próximos da área real, como se estivéssemos clonando-a. E é exatamente isto que estamos fazendo, estamos clonando a área real com retângulos bem comportadinhos com fórmula da área conhecida. Vamos tentar chegar bem próximo da área real, tentando fazer a nossa clonagem com 50 retângulos.  https://www.geogebra.org/m/uatN4wYP Ora, ora, temos um resultado muito mais sofisticado e valores muito mais próximos, vamos a eles a1=2,75, a2=2,59 e a3=(2,75+2,59)/2=2,67. Nós ainda não clonamos a área sob a curva, como se vê na imagem, embora as a3=ar, para duas casas decimais de precisão. Aumentando as casas decimais será possível verificar que a3 e ar estão muito próximos. Porém, para efeitos didáticos, já é possível ver que quanto mais retângulos temos, melhor clonamos a área sob a curva e que, quanto mais retângulos temos, a área da soma superior e a área da soma inferior vão se aproximando cada vez mais. Isto fica claro para 200 retângulos.  https://www.geogebra.org/m/uatN4wYP A clonagem parece perfeita e a distância entre a1 e a2 diminuiu mais ainda o que nos faz intuir que para um número cada vez maior de retângulos ela vai tendendo a se igualar o que nos faz sonhar com um número infinito de retângulos onde área da soma superior=área da soma inferior=área real, ou seja, que uma clonagem perfeita foi realizada.  https://www.geogebra.org/m/uatN4wYP A integral não tem o símbolo de S por um acaso, S é de soma, ela não está limitada por um intervalo [a,b] à toa, ela precisa estar limitada num intervalo porque a área que ela calcula é precisa. Traduzindo em miúdos esta expressão: o somatório das infinitas áreas dos retângulos que clonam perfeitamente a área sob a curva f(x), retângulos esses cuja base tende a zero, no intervalo [0,2] é igual a 2,67 É pau, é pedra, é o fim do caminhoMas e o Teorema Fundamental do Cálculo? Ora, ele coroa a nossa jornada, uma vez que ele relaciona derivada e integral, grosso modo, podemos resumi-lo em: a integral de f(x) é F(x) e a derivada de F(x)=f(x). Com a primeira exploração deste texto, vimos como estes conceitos se relacionam e na segunda discussão deste texto, vimos que o cálculo da área sob a curva não acontece como mágica, mas sim é resultado de um processo rigoroso que envolve o conceito de infinito. Agora estamos prontos para o enunciado formal do TFC.  Fechamos esta série de textos, denominada Cálculo Desenhado, defendendo a ideia de que as fórmulas vêm depois da aprendizagem dos conceitos. É claro que aqui não defendemos que se calcule tangente a tangente, quando se fala de derivada e nem tampouco que se some retângulo a retângulo, quando se fala de integral. Após a compreensão conceitual, as fórmulas podem ser utilizadas porque elas otimizam o tempo, se sabemos sobre o que falamos. Se não o sabemos, ficar substituindo valores em letras indiscriminadamente é uma grande perda de tempo. Espero que você leitor (a) tenha gostado desta série de textos, aqui concluímos a nossa viagem epistemológica pelo Cálculo, e, como diz o poeta, É pau, é pedra, é o fim do caminho. A autoraDaniela Mendes Vieira da Silva possui doutorado e pós doutorado pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, é professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa e iniciação científica, fomentado pela FAPERJ e pela UERJ, Matemática e Física na mala. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP), foi coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ e é diretora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Regional Rio de Janeiro), eleita para o triênio 2025-2027. Atua também como procientista UERJ. |
