Antes de traçar retas, calcular inclinações ou somar áreas, precisamos explorar a topologia da reta real, para começo de conversa, é importante definirmos a reta real, ela é um corpo ordenado completo. "Um corpo é uma estrutura algébrica onde podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir (exceto por zero) seguindo as regras usuais. Além disso, ℝ é ordenado e completo.".
Na educação básica, o primeiro corpo que encontramos é o corpo dos números racionais, que, embora denso, não é completo. O fato da reta real ser completa é fundamental para as nossas discussões em Cálculo, inclusive, a construção dos Reais é fascinante e tema de uma coleção que estou escrevendo juntamente com o professor Abel Lozano, o primeiro volume pode ser baixado gratuitamente aqui.
Neste texto, vamos partir da completude da reta real, sem ela, poderíamos cair em um "buraco" na reta, sigamos.
Supremo, ínfimo, máximo, mínimo
Imagine um conjunto limitado, no eixo real, pelos elementos a e b, reais, a<b. Duas possibilidades para este intervalo nos interessam:
- O intervalo [a,b], é limitado a à esquerda por a e à direita por b, ambos pertencentes ao intervalo em foco, dizemos que a é um mínimo e que b é um máximo. Também a é ínfimo e b é supremo.
- O intervalo (a,b), é também limitado por a à esquerda e por b à direita, porém trata-se de um intervalo aberto, portanto, a e b não pertencem ao intervalo (a,b), neste intervalo não há máximo nem mínimo, porém a é o ínfimo e b é o supremo.
Exemplo rápido: Nos intervalos (0, 1) e [0, 1], o supremo é 1 e o ínfimo é 0 em ambos. A diferença é que, no segundo, eles fazem parte do conjunto. Quando isso acontece, ganham outros nomes: mínimo e máximo.
Ínfimo é a maior das cotas inferiores.
Por exemplo, em (0,1), -10, -2, -1 são cotas inferiores e 0 é a maior delas, uma cota inferior não precisa fazer parte do intervalo considerado. -10, -2 e -1 são valores quase aleatórios, qualquer número menor ou igual a zero é cota inferior, para o intervalo considerado.
Supremo é a menor das cotas superiores.
Por exemplo, em (0,1), 2, 4, 10 são cotas superiores, assim como no ínfimo estes números não precisam fazer parte do intervalo em foco e 1 é a menor das cotas superiores. 2, 4 e 10 são valores quase aleatórios, qualquer número maior ou igual a 1 é cota superior.
Com supremo e ínfimo temos um vislumbre do que conheceremos, no próximo texto, como limite. Discutiremos a ideia de estar arbitrariamente próximo de um número — e supremo e ínfimo são uma base importante para essa discussão.
Agora podemos definir o supremo:
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A definição de ínfimo é análoga.
Ponto aderente, ponto de acumulação e ponto isolado
Imagine um conjunto I= [a,b]U{c}, a <b e c>b, a, b e c reais:
Ponto aderente é todo aquele que adere ao conjunto I, x é aderente a I se toda vizinhança de x contém pelo menos um ponto de I (que pode ser o próprio x), ou seja, pontos aderentes são [a,b]U{c}, guarde esta informação.
Ponto de acumulação, ou ponto limite, o ponto é de acumulação se toda a sua vizinhança contém pelo menos um ponto de I diferente do próprio x, este ponto pode ou não fazer parte de I, neste caso [a,b] são os pontos de acumulação, note que eles também são pontos de aderência. Mais uma vez temos o vislumbre do limite que veremos mais de perto no próximo texto.
x é isolado se x pertence a I e existe uma vizinhança de x que não contém nenhum outro ponto de I, {c} é um caso de ponto isolado, note que ele também é ponto aderente.
O fecho de I, denotado por Ī, é o conjunto de todos os pontos aderentes a I. Equivalentemente, Ī = I ∪ I'(o conjunto mais seus pontos de acumulação)."
Vamos a um exemplo numérico
X = [-4, 3] ∪ {9}
1. Aderente é o que adere
Dizemos que um ponto x é aderente a um conjunto A se toda vizinhança de x toca em A. Note a consequência imediata: todo ponto que já pertence a A é automaticamente aderente a A. Basta estar "grudado" por pertinência. No exemplo, são pontos aderentes [-4, 3] ∪ {9}
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2. Acumulação (ponto limite)
Aqui a exigência é mais forte. Um ponto é de acumulação se toda vizinhança dele contiver pelo menos um ponto do conjunto diferente dele mesmo. Acumulação exige aglomeração.
Ao redor de qualquer ponto em [-4, 3], por menor que seja a vizinhança, sempre haverá infinitos outros pontos de X. Logo, o conjunto dos pontos de acumulação é: X' = [-4, 3]
3. Isolado
Um ponto é isolado quando pertence ao conjunto, mas existe uma vizinhança dele que não contém nenhum outro elemento de A, além dele. Ele está lá, mas "sozinho".
E o 9? Basta escolher um raio pequeno, digamos ε = 0,5. O intervalo (8,5 ; 9,5) intercepta X apenas no próprio 9. Nenhum vizinho. Portanto, 9 é isolado.
Atenção conceitual: O 9 não é de acumulação, mas é aderente (porque pertence a X). Aderência é condição mais fraca; acumulação exige que o conjunto "cerque" o ponto.
4. Fecho
O fecho é X̄= [-4, 3] ∪ {9}é o próprio X porque ele é a união dos pontos aderentes e de acumulação.
Vamos ilustrar os pontos supracitados adiante:
Vamos mudar um detalhe, fazendo o conjunto X=(-4,3)U{9}, observe que o nosso intervalo é aberto, será que muda alguma coisa?
Não muda nada, nada, nada.
- Os pontos aderentes são (-4,3)U{9}
- Os pontos de acumulação são (-4,3), que também são aderentes. O fato do intervalo ser aberto não interfere em nada, para ser ponto de acumulação basta que ele seja cercado por elementos do conjunto a que pertence, não necessariamente ele precisa fazer parte do conjunto.
- O ponto isolado é {9}, que também é aderente.
- O fecho é o próprio X porque ele é a união dos pontos aderentes e de acumulação.
Agora estamos prontos para as definições de ponto aderente, ponto de acumulação e de ponto isolado.
Seja A ⊂ ℝ e x ∈ ℝ. Para ε > 0, denote V_ε(x) = (x − ε, x + ε).
1. Ponto Aderente
x é aderente a A se toda vizinhança de x intersecta A.
x ∈ Ā ⇔ ∀ε > 0, V_ε(x) ∩ A ≠ ∅.
2. Ponto de Acumulação
x é de acumulação de A se toda vizinhança de x contém algum ponto de A distinto de x.
x ∈ A' ⇔ ∀ε > 0, V_ε(x) ∩ (A \ {x}) ≠ ∅.
3. Ponto Isolado
x é isolado em A se x ∈ A e existe uma vizinhança de x que não contém outros pontos de A.
x é isolado em A ⇔ x ∈ A ∧ ∃ε > 0, V_ε(x) ∩ A = {x}.
Observações:
– Ā é o fecho de A; A' é o conjunto derivado.
– Ā = A ∪ A'.
– Todo ponto de acumulação é aderente. A recíproca é falsa. Pontos isolados são aderentes, mas não de acumulação.
O Fecho e a Linguagem dos Limites
Na topologia da reta, o fecho de um conjunto A é definido como Ā = A ∪ A' (o conjunto mais seus pontos de acumulação). No nosso exemplo, Ā = X. O conjunto já "vinha fechado"; não precisou ganhar nada de fora.
Por que isso importa no Cálculo?
Porque a definição de limite depende diretamente disso. Quando escrevemos:
lim f(x) quando x → x₀
essa expressão só faz sentido se x₀ for ponto de acumulação do domínio de f. Se x₀ for um ponto isolado (como o 9 do nosso exemplo), não há como "se aproximar" dele por outros pontos do domínio. O limite, no sentido clássico, simplesmente não se define.
A reta real ℝ tem uma propriedade especial: a completude. Ela não tem "furos". Em conjuntos como os racionais ℚ, um conjunto limitado pode não ter supremo, ou pontos de acumulação podem "escapar". Em ℝ, chãos, tetos e limites encontram onde pousar.
No próximo texto da coleção Cálculo Desenhado, vamos acompanhar o sonho de uma reta secante que deseja virar tangente. E, com essa topologia na bagagem, você verá que o sonho tem chão para pousar.
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva possui doutorado e pós doutorado pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, é professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa e iniciação científica, fomentado pela FAPERJ e pela UERJ, Matemática e Física na mala. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP), foi coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ e é diretora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Regional Rio de Janeiro), eleita para o triênio 2025-2027. Atua também como procientista UERJ.