Antes de traçar retas, calcular inclinações ou somar áreas, precisamos explorar a topologia da reta real, para começo de conversa, é importante definirmos os números reais. ℝ é um corpo ordenado e completo. "Um corpo é uma estrutura algébrica onde podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir (exceto por zero) seguindo as regras usuais.
Na educação básica, o primeiro corpo que encontramos é o corpo dos números racionais, que, embora denso, não é completo. O fato da reta real ser completa é fundamental para as nossas discussões em Cálculo, inclusive, a construção dos Reais é fascinante e tema de uma coleção que estou escrevendo juntamente com o professor Abel Lozano (UERJ), o primeiro volume pode ser baixado gratuitamente neste link.
Neste texto, e nesta coleção Cálculo Desenhado, vamos partir da completude da reta real, pois é ela que garante que limites, supremos e ínfimos não 'escapam' da reta. Sigamos.
Ponto aderente, ponto de acumulação e ponto isolado
Imagine um conjunto I= [a,b]U{c}, a <b e c>b, a, b e c reais:
Ponto aderente é todo aquele que adere ao conjunto I, x é aderente a I se toda vizinhança de x contém pelo menos um ponto de I (que pode ser o próprio x), ou seja, pontos aderentes são [a,b]U{c}, guarde esta informação.
Ponto de acumulação, ou ponto limite, o ponto é de acumulação se toda a sua vizinhança contém pelo menos um ponto de I diferente do próprio x, este ponto pode ou não fazer parte de I, neste caso [a,b] são os pontos de acumulação, note que eles também são pontos de aderência. Mais uma vez temos o vislumbre do limite que veremos mais de perto no próximo texto.
x é isolado se x pertence a I e existe uma vizinhança de x que não contém nenhum outro ponto de I, {c} é um caso de ponto isolado, note que ele também é ponto aderente.
O fecho de I, denotado por Ī, é o conjunto de todos os pontos aderentes a I. Equivalentemente, Ī = I ∪ I'(o conjunto mais seus pontos de acumulação).
Vamos a um exemplo numérico
I = [-3, 4] ∪ {9}
1. Aderente é o que adere
Dizemos que um ponto x é aderente a um conjunto A se toda vizinhança de x toca em A. Note a consequência imediata: todo ponto que já pertence a A é automaticamente aderente a A. Basta estar "grudado" por pertinência. No exemplo, são pontos aderentes [-3, 4] ∪ {9}
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2. Acumulação (ponto limite)
Aqui a exigência é mais forte. Um ponto é de acumulação se toda vizinhança dele contiver pelo menos um ponto do conjunto diferente dele mesmo. Acumulação exige aglomeração.
Ao redor de qualquer ponto em [-3, 4], por menor que seja a vizinhança, sempre haverá infinitos outros pontos de I. Logo, o conjunto dos pontos de acumulação é: I' = [-3, 4]
3. Isolado
Um ponto é isolado quando pertence ao conjunto, mas existe uma vizinhança dele que não contém nenhum outro elemento de I, além dele. Ele está lá, mas "sozinho".
E o 9? Basta escolher um raio pequeno, digamos ε = 0,5. O intervalo (8,5 ; 9,5) intercepta I apenas no próprio 9. Nenhum vizinho. Portanto, 9 é isolado.
Atenção conceitual: O 9 não é de acumulação, mas é aderente (porque pertence a I). Aderência é condição mais fraca; acumulação exige vizinhança.
Em tempo, um ponto aderente ou é isolado ou é de acumulação. Não existe um ponto aderente isolado e de acumulação ao mesmo tempo. Se você tem todos os pontos isolados e todos os pontos de acumulação, na união deles, você tem todos os pontos aderentes. Faça o seguinte teste mental, sempre que estiver em dúvida.
Ele tem vizinhos do conjunto por perto? Se sim, é de acumulação.
Se não, é isolado.
O diagrama de Venn abaixo desenha esta situação
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| https://www.geogebra.org/calculator/ndffhp5m |
4. Fecho
O fecho de I é [-3,4] ∪ {9} é o próprio I porque ele é a união do conjunto I e de seus pontos de acumulação.
Vamos ilustrar os pontos supracitados adiante:
Vamos a um outro exemplo interessante. Elaborei um aplicativo para o estudo deste novo exemplo, você pode acessá-lo neste link.
X=(a,b)U{c}
Veja, nas vizinhanças de [a,b] existe pelo menos mais um elemento além de {a} e de {b} pertencentes a X, mas nas cercanias de {c} não tem nenhum elemento de X além do próprio {c}.
Em tempo, a vizinhança não precisa ser simétrica.
Portanto, os pontos de acumulação são: [a,b] e o ponto isolado é {c}.
Se eu tenho o conjunto X e tenho os pontos de acumulação, eu tenho o fecho que é a união destes dois, ou seja: O fecho de X=[a,b] U{c}.
Daí já temos os pontos aderentes, porque a outra definição de fecho de X é a união dos elementos aderentes a X. Fechar um conjunto é isso, não deixar nenhum ponto aderente de fora.
Lembre-se que todo ponto de acumulação é ponto de aderência, mas nem todo ponto de aderência é de acumulação. Isto se torna visível aqui pois os pontos de aderência são [a,b] U{c} e os pontos de acumulação são [a,b].
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| https://www.geogebra.org/calculator/ndffhp5m |
É hora de definir
Agora estamos prontos para as definições de ponto aderente, ponto de acumulação e de ponto isolado.
Seja A ⊂ ℝ e x ∈ ℝ. Para ε > 0, denote V_ε(x) = (x − ε, x + ε).
1. Ponto Aderente
x é aderente a A se toda vizinhança de x intersecta A.
x ∈ Ā ⇔ ∀ε > 0, V_ε(x) ∩ A ≠ ∅.
2. Ponto de Acumulação
x é de acumulação de A se toda vizinhança de x contém algum ponto de A distinto de x.
x ∈ A' ⇔ ∀ε > 0, V_ε(x) ∩ (A \ {x}) ≠ ∅.
3. Ponto Isolado
x é isolado em A se x ∈ A e existe uma vizinhança de x que não contém outros pontos de A.
x é isolado em A ⇔ x ∈ A ∧ ∃ε > 0, V_ε(x) ∩ A = {x}.
Observações:
– Ā é o fecho de A; A' é o conjunto derivado.
– Ā = A ∪ A'.
– Todo ponto de acumulação é aderente. A recíproca é falsa. Pontos isolados são aderentes, mas não de acumulação.
O Fecho e a Linguagem dos Limites
Na topologia da reta, o fecho de um conjunto A é definido como Ā = A ∪ A' (o conjunto mais seus pontos de acumulação). No nosso exemplo, Ā = X. O conjunto já "vinha fechado"; não precisou ganhar nada de fora.
Supremo, ínfimo, máximo, mínimo
Imagine um conjunto limitado, no eixo real, pelos elementos a e b, reais, a<b. Duas possibilidades para este intervalo nos interessam:
- O intervalo [a,b], é limitado à esquerda por a e à direita por b, ambos pertencentes ao intervalo em foco, dizemos que a é um mínimo e que b é um máximo. Também a é ínfimo e b é supremo.
- O intervalo (a,b), é também limitado por a à esquerda e por b à direita, porém trata-se de um intervalo aberto, portanto, a e b não pertencem ao intervalo (a,b), neste intervalo não há máximo nem mínimo, porém a é o ínfimo e b é o supremo.
Exemplo rápido: Nos intervalos (0, 1) e [0, 1], o supremo é 1 e o ínfimo é 0 em ambos. A diferença é que, no segundo, eles fazem parte do conjunto. Quando isso acontece, ganham outros nomes: mínimo e máximo.
Ínfimo é a maior das cotas inferiores.
Por exemplo, em (0,1), -10, -2, -1 são cotas inferiores e 0 é a maior delas, uma cota inferior não precisa fazer parte do intervalo considerado. -10, -2 e -1 são valores quase aleatórios, qualquer número menor ou igual a zero é cota inferior, para o intervalo considerado.
Supremo é a menor das cotas superiores.
Por exemplo, em (0,1), 2, 4, 10 são cotas superiores, assim como no ínfimo estes números não precisam fazer parte do intervalo em foco e 1 é a menor das cotas superiores. 2, 4 e 10 são valores quase aleatórios, qualquer número maior ou igual a 1 é cota superior.
Com supremo e ínfimo temos um vislumbre do que conheceremos, no próximo texto, como limite. Discutiremos a ideia de estar arbitrariamente próximo de um número — e supremo e ínfimo são uma base importante para essa discussão.
Agora podemos definir o supremo:
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https://profmat-sbm.org.br/ma-22/ |
A definição de ínfimo é análoga.
Por que isso importa no Cálculo?
Porque a definição de limite depende diretamente disso. Quando escrevemos:
lim f(x) quando x → x₀
essa expressão só faz sentido se x₀ for ponto de acumulação do domínio de f. Se x₀ for um ponto isolado (como o 9 do nosso exemplo), não há como "se aproximar" dele por outros pontos do domínio. O limite, no sentido clássico, simplesmente não se define.
A reta real ℝ tem uma propriedade especial: a completude. Ela não tem "furos". Em conjuntos como os racionais ℚ, um conjunto limitado pode não ter supremo, ou pontos de acumulação podem "escapar". Em ℝ, chãos, tetos e limites encontram onde pousar.
No próximo texto da coleção Cálculo Desenhado, vamos acompanhar o sonho de uma reta secante que deseja virar tangente. E, com essa topologia na bagagem, você verá que o sonho tem chão para pousar.
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva possui doutorado e pós doutorado pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, é professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa e iniciação científica, fomentado pela FAPERJ e pela UERJ, Matemática e Física na mala. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP), foi coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ e é diretora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Regional Rio de Janeiro), eleita para o triênio 2025-2027. Atua também como procientista UERJ.