O texto de hoje versa sobre o "sonho de uma reta secante se tornar tangente", vamos caminhar do conceito de limite até o conceito de derivada, guiados por este "sonho". Vamos, portanto, começar a nossa jornada, falando do conceito de limite.
A dança dos épsilons e deltas
Limite é o que não é, já começo falando desta forma. Lá na graduação, quando estudamos limite, temos, guiados por anos de memorização de fórmulas e resoluções de listas gigantes para a fixação destas, a intuição de substituir o mais rápido possível os valores dados. Veja, por exemplo, o limite de f(x)=(x²-1)/(x+1), quando x tende a -1, sendo f(x) uma função de R em R.
Ora, a PRIMEIRA coisa que o graduando pensa é, tem um x=-1, e tem um monte de x na função que me deram, é ÓBVIO, que eu PRECISO substituir este -1 na "fórmula". Ou seja, o afoito estudante, em (x²-1)/(x+1), substitui x=-1, e obtém ((-1)²-1)/(-1+1)=0/0 e um grande UÉ!!!!!!, porque 0/0 é uma indeterminação.
Em um curso tradicional de Cálculo, o professor vai orientar o aluno a fatorar (x²-1) em (x+1)(x-1) e a fazer a simplificação de ((x+1)(x-1)/(x+1)) que resulta em x-1 e aí, finalmente substituir COM UM GRANDE SORRISO DE ALÍVIO x=-1, obtendo que o limite é -2. E a esta ação segue-se uma interminável lista de 1087 exercícios que são variações deste mesmo.
E qual é o grande problema? O grande problema é que a discussão conceitual passou longe. x=-1 é tudo o que não é, se x tende a -1, ele chega tão próximo de -1 quanto quisermos, ele fica a uma distância de -1 tão ridiculamente pequena quanto queiramos. E quanto é este tanto? Ora, na reta real, que é densa (um conjunto numérico denso é aquele onde entre quaisquer dois de seus elementos, existe um outro elemento do conjunto) sempre existe um elemento mais próximo de zero do que qualquer um que pensemos.
Uma maneira de dizer exatamente qual é esta distância é sair dos reais e utilizar um conceito dos hiper-reais (o conjunto dos hiper-reais é uma extensão do conjunto dos reais), nos hiper-reais, o número que é mais próximo de zero do que qualquer número real , se chama infinitésimo (em Análise Não-Standard, infinitésimos são elementos não-nulos cujo valor absoluto é menor que qualquer real positivo).
Pensando nos hiper-reais, podemos dizer que, no limite dado, estamos a um infinitésimo de distância de x=-1.
Ora, nunca chegamos efetivamente a x=-1 e é esse o coração conceitual do limite. Vamos dar uma olhada no GeoGebra:
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| https://www.geogebra.org/calculator/w6at7fxc |
Veja, na imagem acima, que, para que nos acerquemos do limite L=- 2, NÓS escolhemos quão perto desejamos estar do Limite que estamos buscando, chamamos épsilon, desta forma, temos L+épsilon e L-épsilon no eixo y., e, como consequência desta escolha, há uma faixa de valores aceitáveis para x, na imagem, de -1,1 a -0,9. e x+delta e x-delta no eixo x, como segue adiante:
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| https://www.geogebra.org/calculator/w6at7fxc |
No exemplo, o ponto (-1,-2) é parte do gráfico da função f(x)=x-1 (atenção, a função f(x)=(x²-1)/(x+1) nada mais é do que um disfarce para f(x)=x-1, só pra criar listas de exercício mais do mesmo).
Mas, e se, só pra me distrair, eu mudar o domínio? Vou fazer com que a minha função f(x)=x-1, seja uma função de R- {-1} em R. Neste caso, o gráfico ganha uma descontinuidade em (-1,-2) e adivinhe o que acontece com o limite L?
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| https://www.geogebra.org/calculator/w6at7fxc |
Não acontece nada, rsrs.
Veja que, quando nos aproximamos de x = -1 pela esquerda (x → -1⁻), por exemplo, com x₁ = -1,01, os valores da função f(x₁) = -2,01 se aproximam de L = -2.
Já, quando nos aproximamos de x = -1 pela direita (x → -1⁺), por exemplo, com x₂ = -0,99, os valores da função f(x₂) = -1,99 também se aproximam de L = -2.
Tanto f(x₁) = -2,01 quanto f(x₂) = -1,99 estão próximos de L = -2, aproximando-se desse valor por valores menores e maiores, respectivamente.
Como:
limx → -1⁻ f(x) = -2 e limx → -1⁺ f(x) = -2
e ambos os limites laterais são iguais ao mesmo valor L = -2, dizemos que o limite existe naquele ponto:
limx → -1 f(x) = -2.
Agora estamos prontos para a definição de limite.
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https://loja.sbm.org.br/fundamentos-de-calculo.html
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Vamos agora utilizar a definição e os nossos exemplos conjuntamente, em ambos, x pertence a um intervalo I, [-1,1;-0,9] e a distância de qualquer dos elementos deste intervalo a x é maior do que zero e menor do que delta, além disso, a distância de qualquer f(x) dentro da margem que estabelecemos para épsilon, é, menor do que épsilon.
Observe que temos uma implicação aqui, isto significa que se a segunda sentença for falsa, a primeira será falsa, veja a tabela verdade da implicação adiante.
É o épsilon que determina o delta, isto é importantíssimo. E já que estamos aqui, vamos falar de limites laterais. Voltemos ao último gráfico:
Veja que, quando me acerco de x=-1 pela esquerda, por exemplo, com x1=-1,01, eu cerco L=-2, com L1=-2,01. Já, quando me acerco de x=-1 pela direita, por exemplo, com x2=-0,99, eu cerco L=-2, com L2=-1,99. Tanto L1=-2,01 quanto L2=-1,99 estão próximos de L=-2, cercam L pelos dois lados.
Veja que tal cerco, ocorre dentro das faixas de valores determinadas pelo épsilon e pelo delta com que estamos trabalhando.
Agora estamos prontos para definir limites laterais:
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Limite lateral pela esquerda = L significa:"Para QUALQUER faixa horizontal que eu desenhe em torno de L (com altura ε)..."
"...existe uma faixa vertical à esquerda de x₀ (com largura δ)..."
"...tal que se x entrar nessa faixa vertical, f(x) OBRIGATORIAMENTE cai na faixa horizontal!" O mesmo pela direita!
E, quando os limites laterais se acercam de um mesmo L, dizemos que o limite existe naquele ponto.
A caminhada da secante à tangente
Vamos começar esta seção com o gráfico da função f(x)=x², daí, tomemos x0=0, f(x0)=0, x=2, f(x)=4. Vamos marcar então os pontos A=(0,0) e B=(2,4), pontos estes convenientemente distantes. Agora, vamos traçar uma reta ligando-os, veja o que foi descrito na ilustração adiante.
https://www.geogebra.org/calculator/caqfdh4q
Observe que a reta traçada é secante ao gráfico de f(x), intersectando-o nos pontos A e B, e a partir disso, podemos traçar, tendo AB como hipotenusa, um triângulo retângulo de altura 4 e base 2, conforme está desenhado ao lado.
A inclinação desta reta, que é o gráfico de uma função afim g(x), é dada pela tangente do ângulo  no triângulo ABC, tg Â=4/2=2. Tal inclinação está grafada no coeficiente angular da reta em foco, veja que g(x)=2x.
A reta secante traz a variação média no intervalo considerado, a isto se denomina Taxa de Variação Média (TVM).
Vamos agora em busca de transformar a nossa secante em uma tangente, para isto, vamos aproximar o máximo que conseguirmos os pontos A e B, ao fazer esta aproximação, encontramos a situação ilustrada adiante.
Mantivemos o ponto B em (2,4) e aproximamos o ponto A o máximo que conseguimos, na imagem o ponto A=(1,9; 3,6), 3,6 é uma aproximação, e estamos nos encaminhando para ter uma reta tangente, mas, fazendo arredondamentos, podemos considerar B como um ponto de tangência entre f(x) e g(x).
Mas observe que g(x) teve sua inclinação modificada, e, voltando à imagem, conseguimos visualizar o minúsculo triângulo retângulo ABC', cuja altura é 0,4 e a base é 0,1, a tangente do ângulo  agora é dada por tg Â=0,4/0,1=4, e, como g(x) não é mais uma função linear, pois não passa pelo ponto (0,0), o seu coeficiente linear é diferente de zero, g(x) agora é escrita como g(x)=4x+b, b diferente de zero, e 4 é o coeficiente angular de g(x).
Quanto menor for a distância entre x0 e x, mas próximos da tangência estaremos e, quando esta distância tender a zero (lembra do infinitésimo? o número hiper-real mais próximo de zero que qualquer número real, é como se a base do "triângulo minúsculo" tivesse um infinitésimo como medida), tal tangência sonhada será alcançada e teremos a TVI que é a Taxa de Variação Instantânea e, alcançaremos o conceito de derivada.
Agora estamos prontos para a definição de derivada:
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| https://loja.sbm.org.br/fundamentos-de-calculo.html |
Ora, ora, (f(x)-f(x0)/x-x0), vamos pegar alguns valores no nosso triângulo minúsculo ABC':
A(x0, y0)=(1,9; 3,6), daí que x0=1,9 e y0=3,6, B( x, y)=(2,4). Sabemos que a inclinação de g(x) é 4 e que g(x) é escrito como g(x)=4x+b, com b diferente de zero.
Agora, vamos, calcular a derivada de f(x) para testar uma coisa.... f(x)=x² e f'(x)=2x, hummm...
O nosso valor de x de interesse é x=2, o que será que acontece quando fazemos f'(2)? Vamos lá, f'(2)=2.2=4.
E 4 é justamente o coeficiente angular de g(x), que podemos considerar, aproximando, a reta tangente a f(x) no ponto x=2.
E a nossa secante virou tangente e ainda encontramos a derivada. Temos aqui a Taxa de Variação Instantânea, ou seja, o que ocorre, exatamente, quando x=2.
Vamos a outro exemplo, pra ampliar o nosso entendimento
Tome h(x)=x³, uma função de R em R, fazendo x0=0, em nossa função, temos y0=0 e fazendo x=2 nela, temos y=8. Podemos, a partir daí, nomear os pontos A=(0,0) e B=(2,8). Daí podemos calcular a inclinação da reta l(x), secante a h(x), tg Â=8/2=4, como l(x) passa por (0,0), temos uma função linear que pode ser escrita como l(x)=4x
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| https://www.geogebra.org/m/ecwx4duk |
Buscando a tangência no ponto x=2 levamos o ponto A o mais próximo que conseguimos do ponto B e encontramos os seguintes novos valores para A(x0,y0)=(1,99; 7,88).
Calculando a tangente do ângulo Â, com estes novos valores de x0 e y0, temos: tg Â=(8-7,88)/(2-1,99)=0,12/0,01=12, desta forma l(x) pode ser escrita como l(x)=12x+b, b diferente de zero, porque o gráfico de l(x) é o de uma função afim que não passa pelo ponto (0,0).
Agora vejamos a derivada de h(x)=x³, h'(x)=3x², utilizando o nosso ponto de interesse x=2 na derivada h'(x), temos h'(2)=3.2²=3.4=12, que é justamente o coeficiente angular de inclinação da reta tangente a f(x) quando x=2.
A Garantia do Sonho: Os teoremas da existência
Para que a nossa jornada do "sonho da secante"
seja matematicamente segura, precisamos conhecer os Teoremas de Existência. Eles garantem que os pontos que buscamos no GeoGebra
realmente existem, antes mesmo de fazermos qualquer conta.
Aqui está a hierarquia desses pilares fundamentais:
1. Teorema de Weierstrass (Valor Extremo)
• O que garante: Em um intervalo fechado e contínuo, a função obrigatoriamente atinge um ponto de máximo e um de mínimo.
• Papel: Garante que a nossa curva tem "picos" e "vales" reais para serem estudados.
2. Teorema do Valor Intermediário
• O que garante: Se a função é contínua, ela assume todos os valores entre o início e o fim do intervalo.
• Papel: É a garantia de que o gráfico não tem "saltos"; para ir de um ponto a outro, a curva passa por todos os caminhos intermediários.
3. Teorema de Bolzano (Teorema do Zero)
• O que garante: Um caso especial do Teorema do Valor Intermediário: se a função muda de sinal (de positivo para negativo), ela obrigatoriamente cruza o zero.
• Papel: É a base para encontrarmos as raízes das funções.
4. Teorema do Valor Médio
• O que garante: Em um intervalo contínuo e suave, existe pelo menos um ponto onde a inclinação da tangente é exatamente igual à inclinação da secante.
• Papel: É o "Selo de Garantia" do nosso sonho: ele prova que a taxa instantânea em algum momento iguala a taxa média da viagem.
5. Teorema de Rolle (um caso particular do Teorema do Valor Médio).
• O que garante: Se a função começa e termina na mesma altura e é suave (diferenciável), existe pelo menos um ponto onde a derivada é zero.
• Papel: Garante a existência de uma tangente perfeitamente horizontal.
Desdobrar e explorar estes teoremas é assunto para o nosso próximo texto, até lá!
Sugestões de Bibliografia para Aprofundamento
As obras listadas a seguir foram fundamentais para a minha formação acadêmica e serviram de base teórica para a construção da abordagem apresentada neste texto. Recomendo-as ao leitor que deseja explorar as raízes históricas, conceituais e pedagógicas do Cálculo.
ALEXANDER, Amir. Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World.
Esta obra foi essencial para o meu aprofundamento na história e na filosofia dos números hiper-reais. Alexander narra como a teoria dos infinitésimos foi, por séculos, considerada uma ideia "perigosa" e como sua aceitação moldou o pensamento científico moderno. É uma leitura indispensável para compreender por que a abordagem intuitiva que utilizamos aqui possui uma carga histórica tão profunda.
DUVAL, Raymond. Semiose e Pensamento Humano.
A base pedagógica deste material fundamenta-se na teoria de Duval sobre os Registros de Representação Semiótica. A indicação desta obra visa esclarecer ao leitor como a coordenação entre diferentes registros — o gráfico (GeoGebra), o escrito e o algébrico — é o que pode facilitar a apreensão do conceito matemático em foco.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica.
Um pilar clássico no ensino de Cálculo, esta obra é recomendada pela sua clareza didática e pelo rigor na integração entre álgebra e geometria, tendo sido uma referência constante desde os meus primeiros estudos na área.
SCHUBRING, Gert. Análise do "Cours d'Analyse" de Cauchy.
O Professor Gert Schubring foi uma influência determinante em minha trajetória. Durante o doutorado, tive o privilégio de participar de suas aulas, que resultaram na escrita do livro Reflexões sobre o Conhecimento Científico, projeto que tive a oportunidade de coordenar, sob sua orientação, junto à minha turma. Seus estudos sobre Cauchy são a referência definitiva para entender a evolução do rigor na análise matemática e a legitimidade do uso de infinitésimos.
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva possui doutorado e pós doutorado pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, é professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa e iniciação científica, fomentado pela FAPERJ e pela UERJ, Matemática e Física na mala. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP), foi coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ e é diretora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Regional Rio de Janeiro), eleita para o triênio 2025-2027. Atua também como procientista UERJ.
