Analisando uma função com as derivadas primeira e segunda, o que, de fato, está acontecendo? Um texto aberto.
Análise do comportamento de uma função com a sua derivada primeira
A derivada primeira é para a análise de crescimento/decrescimento.
Dada f: R em R, f(x)=x², f’(x)=2x vai dar a inclinação da tangente a f(x) no ponto x.
Se a inclinação for negativa, temos um decrescimento em f, se for positiva temos um crescimento em f.
Veja na imagem que, para x=-3 temos f’(-3)=2.(-3) e que -6 é justamente a inclinação da reta tangente a f no ponto E=(-3,9).
Veja o coeficiente angular desta reta e que aí temos um decrescimento.
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Em busca da inclinação zero
Ainda em f: R em R, f(x)=x², f’(x)=2x nos interessa buscar a inclinação zero para a tangente a f.
Quem dá a inclinação? f’(x) dá.
E por que a inclinação zero é importante? Ela é importante porque ela marca um momento de transição crescimento/decrescimento
Então, para descobrir o valor de x que vai nos permitir descobrir o ponto crítico no qual a tangente a f tem inclinação zero vamos fazer f’(x)=0, como f’(x)=2x, igualando f’(x) a 0, temos 2x=0 e x=0. x=0, formalmente,
Um ponto crítico de uma função 𝑓(𝑥)é um valor de 𝑥 no domínio da função tal que 𝑓′ (𝑥)=0 ou 𝑓'(𝑥)não existe
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Ponto crítico
Agora que temos o ponto crítico x=0, lembre-se que ponto aqui é ponto mesmo na reta, elemento da reta real do eixo x.
Um ponto que nos interessa, portanto, é (x,f(x)). Conhecê-lo nos ajudará em nossa análise.
Já encontramos o ponto crítico x=0 e, a partir dele, C= (0, 0²) que é C=(0,0), isto nos será útil para a análise em tela.
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Analisando crescimento/decrescimento
Visualmente, à esquerda do ponto C= (0, 0) podemos observar que a função decresce e que à direita ela cresce.
Mas a intuição não basta. Portanto, usando a derivada primeira f’(x)=2x, vamos analisar o decrescimento/crescimento verificando os valores dos coeficientes angulares das tangentes a f(x).
Para x<0, f’(x)<0, isto indica decrescimento
Para x>0, f’(x)>0, isto indica crescimento
O que confirmou matematicamente a nossa intuição.
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Análise do comportamento de uma função com a derivada segunda
A derivada segunda vai nos auxiliar a observar concavidade. Visualmente vemos que a concavidade da função f(x)=x² está virada para cima, trata-se de função convexa, portanto.
Mas, em Matemática, não basta mostrar o gráfico, vamos à derivada segunda de f que é f”=2, como a derivada segunda é positiva, a concavidade é para cima, mas já esperávamos isso.
Veja que a inclinação da derivada primeira f'(x)=2x [na imagem, em azul], indica o crescimento é quase como se ela apontasse, dizendo: olha, o crescimento da função é pra cima! E a derivada segunda vai explicitar isto, formalizando a concavidade.
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A derivada segunda analisa a variação da derivada primeira
A derivada segunda é a derivada da derivada primeira. Ou seja, ela permite que analisemos a variação de f’(x)=2x que é uma função crescente, isso indica que, como consequência, a concavidade deve ser pra cima, porque as tangentes a f terão inclinação para cima cada vez maior, isso obriga a concavidade a se abrir pra cima.
Imagine que f (x) modele a viagem de um móvel qualquer, f(x) dá a posição do móvel ao longo do tempo, f'(x) vai permitir que observemos as velocidades instantâneas ao longo do intervalo analisado, ou seja, como a velocidade varia no intervalo, f"(x) vai analisar a variação desta velocidade, e variação de velocidade é aceleração. Se o valor for positivo o móvel está acelerando positivamente e se for negativo está acelerando negativamente.
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E o nosso ponto crítico (0,0) é um ponto de mínimo, e é um mínimo global. A derivada segunda também formaliza pontos de máximo e de inflexão, se houverem.
Resumindo
A derivada primeira f′(x)=2x nos dá a inclinação da tangente.
A derivada segunda f′′(x)=2 nos diz como essa inclinação varia.
Como f′′(x)=2>0, significa que a inclinação não só muda, mas muda de forma crescente:
Aqui temos um pulo do gato, a derivada segunda mostra como a inclinação varia, se positiva ela mostra se f' varia de forma crescente. Isso me obriga a ter a concavidade pra cima porque a inclinação das tangentes está subindo, subindo e subindo. O mesmo raciocínio se aplica, com sinal invertido, para a derivada segunda negativa.
Para x<0, f′(x) é negativo, mas conforme você se aproxima de zero, ele vai ficando “menos negativo” (exemplo: em x=−3, f′=−6; em x=−1, f′=−2).
Em x=0, f′(0)=0.
Para x>0, f′(x) é positivo e vai ficando cada vez maior (em x=1, f′=2; em x=3, f′=6).
Ou seja, a inclinação da tangente cresce continuamente: ela sai negativa, passa por zero e se torna positiva, aumentando sem parar.
Para x<0, f′(x) é negativo, mas conforme você se aproxima de zero, ele vai ficando “menos negativo” (exemplo: em x=−3, f′=−6; em x=−1, f′=−2).
Em x=0, f′(0)=0.
Para x>0, f′(x) é positivo e vai ficando cada vez maior (em x=1, f′=2; em x=3, f′=6).
Ou seja, a inclinação da tangente cresce continuamente: ela sai negativa, passa por zero e se torna positiva, aumentando sem parar.
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva possui doutorado e pós doutorado pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, é professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa e iniciação científica, fomentado pela FAPERJ e pela UERJ, Matemática e Física na mala. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP), foi coordenadora do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat) na FFP/UERJ e é diretora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Regional Rio de Janeiro), eleita para o triênio 2025-2027. Atua também como procientista UERJ.