Nesta postagem abordo ideias contraintuitivas. São aquelas ideias que parecem nos dizer que algo de errado não está certo. Ora, estas ideias são incômodas, mas também muito interessantes.
Hoje vamos falar sobre o fato de que os conjuntos dos naturais, inteiros e racionais têm a mesma quantidade de elementos. Vamos usar as demonstrações de suas construções como pano de fundo da nossa conversa.
Vamos hoje, como diria Buzz Lightyear, "Ao infinito, e além." (não tem nada além do infinito, maaass, é uma boa frase para a nossa discussão, rs).
Contando até o infinito
Hoje vamos falar sobre o infinito. Vamos começar perguntando a você leitor(a)(e), qual segmento de reta possui mais pontos? Será o segmento AB ou o segmento CD. Veja a imagem 1 adiante.
Figura 1: Elaborada a partir de [1]
Embora a intuição possa inicialmente sugerir que o segmento AB possui mais pontos que o segmento CD, a intrigante conclusão revelada por nosso argumento é que ambos os segmentos têm, na verdade, a mesma quantidade de pontos, desafiando nossa intuição e destacando as surpreendentes propriedades do infinito. Vou mostrar que esta afirmação é verdadeira em duas imagens. Vamos aqui fazer um ponto E. Veja, que, com ele, temos dois triângulos ABE e CDE (figura 2).
Figura 2: Elaborada a partir de [1]
Agora, observe que, ao traçarmos semirretas partindo de E e interceptando CD, forçosamente elas interceptação AB em um ponto.
Ou seja, cada ponto interceptado pela semirreta em CD tem um par em AB. O que mostra que AB e CD têm a mesma quantidade de pontos!!!
Figura 3: Elaborada a partir de [1]
É assim que se conta até o infinito. Para fazer esta contagem, falando a grosso modo, basta parear elementos de dois diferentes conjuntos sem que sobre nenhum elemento sem par.
Números naturais e números inteiros têm a mesma cardinalidade
Vamos usar esta ideia para contar os elementos do conjunto dos naturais e dos inteiros para estabelecer que os dois têm a mesma quantidade de elementos.
Vamos começar representando aqui o conjunto dos Naturais, começando do zero, N={0,1,2,3...}. Agora vou representar o conjunto dos inteiros, Z={...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}.
À primeira vista podemos imaginar que o conjunto dos inteiros tem muito mais elementos do que o conjunto dos naturais. Afinal de contas, o conjunto dos inteiros tem, além de todos os elementos do conjunto dos Naturais, também os números inteiros negativos.
Só que, o infinito é traiçoeiro, cuidado!!!!
Vamos desmontar esta falsa impressão, falando de maneira bem superficial, pareando elemento a elemento, dos dois conjuntos em foco sem que reste elemento sem par. Vamos nessa?
Vamos começar com os naturais
Figura 4: Elaborada a partir de [2]
Vamos representar os inteiros...
Figura 5: Elaborada a partir de [2]
Agora vem o ponto alto, vamos parear os elementos. Se conseguirmos parear cada número natural com um número inteiro, então os dois conjuntos têm a mesma quantidade de elementos!
Vamos organizar os pares da seguinte forma, os naturais pares irão se ligar aos inteiros não negativos e os naturais ímpares vão se ligar aos inteiros negativos, como indicado na figura 6 adiante.
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| Figura 6: Elaborada a partir de [2] |
Já deu pra ver que ninguém ficará sem par, mas vamos organizar estes pares para vermos melhor como isto acontece, observe a figura 7:
Ao organizar os pares de forma estratégica, estabelecemos uma correspondência entre cada número natural e um número inteiro, assegurando que nenhum elemento fique sem par.
Veja que agora podemos "varrer" o plano cartesiano e que cada número natural terá um número racional correspondente, sem que sobre nenhum sem par.
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| Figura 7: Elaborada a partir de [2] |
Veja que cada elemento do conjunto dos naturais pode ser atrelado a um elemento do conjunto dos inteiros, isto significa que os dois conjuntos têm a mesma quantidade de elementos, ou seja, a mesma cardinalidade.
Podemos dizer que o conjunto dos números inteiros é enumerável, porque todo conjunto cujos elementos podem ser pareados, ou seja, colocados em uma relação biunívuca, com os elementos do conjunto dos naturais é um conjunto enumerável.
Números naturais e números racionais têm a mesma cardinalidade
Aqui vamos, para mostrar que o conjunto dos racionais também é enumerável, parear seus elementos com os elementos do conjunto dos naturais.
Número racional é todo aquele que pode ser escrito na forma x/y, com x e y inteiros e y diferente de zero.
Estrategicamente vamos usar o plano cartesiano porque cada um de seus pontos usa duas informações, assim como cada número racional.
Cada ponto será numerado com um número natural. As coordenadas (x, y) , com y diferente de zero, irão representar um número racional na forma x/y, vide a figura 8.
Vamos parear o natural:
- 0 com o ponto (1,1) que representa o racional 1/1,
- 1 com o ponto (2,1) que representa o racional 2/1,
- 2 com o ponto (1,2) que representa o racional 1/2,
- 3 com o ponto (1,3) que representa o racional 1/3,
- 4 com o ponto (2,2) que representa o racional 2/2,
- E assim por diante, varrendo o plano todo e pareando cada natural com cada racional.
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| Figura 8: Vide [3] |
Ao seguir esse método estratégico de pareamento, estabelecemos uma correspondência entre cada número natural e seu respectivo número racional, ilustrando de maneira convincente a igualdade de cardinalidade entre esses dois conjuntos aparentemente distinto. Isto significa que o conjunto dos naturais e dos racionais têm a mesma cardinalidade.
Portanto, ao explorar esses intrigantes pareamentos e demonstrar a igualdade de cardinalidade entre os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais, desvendamos uma notável faceta do infinito, revelando que sua vastidão pode ser surpreendentemente capturada e equiparada por meio de argumentos matemáticos elegantes.Cenas do próximo capítulo
Você talvez esteja considerando que isso é viável simplesmente porque estamos tratando de infinito, e, bem, o infinito é o infinito. No entanto, é fundamental entender que existem diferentes magnitudes de infinito. Em nossa próxima postagem, exploraremos um conceito de infinito que abarca mais elementos do que aqueles presentes nos conjuntos discutidos até agora. Fique atento (a) (e) para mais informações emocionantes!
Links visitados
[1] https://www.geogebra.org/classic/krtq6qwc
[2] https://www.geogebra.org/classic/khgwsw3f
[3] https://seara.ufc.br/pt/producoes/nossas-producoes-e-colaboracoes/secoes-especiais-de-ciencia-e-tecnologia/secoes-especiais-matematica/cantor-e-os-transfinitos/
A autora
Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. Orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES. É também líder do grupo de pesquisa em aprendizagem e ensino de Matemática da FFP-UERJ (GPAEM-FFP).