Estive refletindo sobre a validade de um Teorema, e, como exercício criativo, me propus a provar, ou não, o teorema " A soma de dois ímpares só resulta em um primo se os dois ímpares forem iguais a 1", No post anterior já vimos que a soma de dois ímpares resulta sempre em um par, e sabemos que 2 é o único primo par.
Começando a empreitada
Teorema: " A soma de dois ímpares só resulta em um primo se os dois ímpares forem iguais a 1"
Prova: Tome os ímpares 2a+1 e 2b+1, a e b inteiros,
Fazendo a soma deles, temos: 2a+2b+2,
Colocando 2 em evidência, temos: 2(a+b+1),
E, como a, b e 1 são inteiros, sua soma também o é, e podemos substituir (a+b+1) por k,
Obtemos assim 2k, que é a forma canônica para o número par, e, como o único primo par é o 2, a e b são iguais a 0, como os números em questão são 2a+1 e 2b+1, substituindo, temos 2.0+1 e 2.0+1, e 1+1=2. CQD (só que não)...
Não podemos esquecer das classes de equivalência da subtração, que é como construímos, axiomaticamente, os números inteiros. E existem infinitas subtrações equivalentes que resultam em 2. Lembro que as subtrações são adições com o oposto, por exemplo 1-1=0 é, na verdade, uma adição 1+(-1)=0, e uma adição muito especial, porque aqui temos o elemento neutro da adição como resultado.
Assim, com um único contraexemplo (dentre infinitos) a minha demonstração cai, como um castelo de areia. Vamos à prova.
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| Imagem gerada com o Gemini |
Prova bem sucedida: Por contraexemplo, o teorema é falso, pois 7+(-5)=2. CQD
Salvando o Teorema
Fiquei pensando em como salvar o teorema, e, como não existe a subtração nos naturais, que é o que estragou os meus planos anteriores nos inteiros, estabeleci a restrição de apenas usar naturais e refiz a minha prova.
Tome os ímpares 2a+1 e 2b+1, a e b naturais,
Fazendo a soma deles, temos: 2a+2b+2,
Colocando 2 em evidência, temos: 2(a+b+1),
E, como a, b e 1 são naturais, sua soma também o é, e podemos substituir (a+b+1) por k,
Obtemos assim 2k, natural, que é a forma canônica para o número par, e, como o único primo par é o 2, a e b são iguais a 0 e 1+1=2. CQD
E o teorema está salvo.
O que está por trás desta ideia?
A própria constituição dos inteiros está sendo mobilizada aqui. O fato de que só existe a subtração, após a criação do inverso aditivo, do estabelecimento do zero como o elemento neutro da adição.
O fato de que pelo conjunto dos naturais não, pelo menos não formalmente, porque a operação de subtração só existirá de fato com a construção dos inteiros e que mesmo assim subtraímos nos naturais antes de existir a operação (de volta para o futuro?). Este deslocamento no espaço tempo cobra o seu preço, observamos em nossas salas de aula, as dificuldades dos estudantes com a subtração, o que se constitui em um verdadeiro obstáculo epistemológico, que não se resolve com metodologia, mas, sim, com boa Matemática.
Este texto explora o fato de que 1+1=2 carrega uma série de significados, propriedades e muita matemática de alto nível, ao contrário do que o senso comum prega. Sigamos estudando. Até o próximo texto!