Demonstração do Teorema de Pitágoras com Geometria Dinâmica

 Você sabia que o Teorema de Pitágoras é uma relação métrica no triângulo retângulo, e que podemos deduzir sua fórmula usando semelhança de triângulos? Neste post vamos chegar à ela em poucos passos, com o apoio do aplicativo que elaboramos e deixamos disponível a todes em [1]. 

Demonstrar, assertivamente, o Teorema é fundamental para que compreendamos os conceitos que a sustentam, e, compreender, e não decorar, deve ser sempre o nosso norte, quando falamos de aprendizagem de Matemática.

Entendendo que a semelhança de triângulos possibilita atingir até o famoso Teorema de Pitágoras, podemos mostrar aos nossos estudantes que com a semelhança nós podemos alcançar qualquer relação métrica no triângulo retângulo que quisermos, e sem decoreba, o que é mais importante.

A semelhança de triângulos é a base de tudo

Vamos iniciar aqui com um triângulo ABC, retângulo em A (figura 1).

Figura 1: Elaborada a partir de [1]

Agora, vamos traçar a altura deste triângulo ABC, partindo de A (figura 2).

Figura 2: Elaborada a partir de [1]

A partir daí, temos dois novos triângulos ABD e ADC, vamos marcar também, em vermelho e azul, os ângulos agudos congruentes destes dois triângulos, vamos manter em verde os ângulos retos envolvidos (figura 3).

Figura 3: Elaborada a partir de [1]

Estes triângulos ABD e ADC são semelhantes a ABC, pelo caso AA, vamos colocá-los juntos, e com os lados homólogos na mesma posição [este é o ponto alto desta demonstração], conforme segue adiante na figura 4:

Figura 4: Elaborada a partir de [1]

Chegando à famosa fórmula 

Agora, tendo em mente que a=m+n e que queremos chegar a a²=b²+c², vamos direto aos lados homólogos que nos interessam:

b/n=a/b, que resulta em b²=an. (I) (já conseguimos o nosso b²)

e

c/m = a/c, que resulta em c²=am (II) (já conseguimos o nosso c²)

Queremos também uma adição de b²+c² que seja igual a a², vamos então somar I e II:

b²+c²=an+am

Colocando a em evidência no membro da direita da equação, temos:

b²+c²= a(n+m)

Como a=m+n, como já havíamos alertado, reescrevemos:

b²+c²=a.a

E chegamos à conhecida fórmula.

a²=b²+c²

CQD.

Link consultado

[1] https://www.geogebra.org/classic/zrtrcyyb

A autora

Daniela Mendes Vieira da Silva é doutora pelo programa de pós graduação em ensino de Matemática da UFRJ, professora adjunta do departamento de Matemática da FFP/UERJ, coordenadora geral do projeto de extensão LEM FFP UERJ ITINERANTE e do projeto de pesquisa, fomentado pela FAPERJ, Matemática e Física na mala. É também orientadora do programa Residência Pedagógica, Matemática-FFP/UERJ da CAPES.